1 利用导数定义推出：（1）(z^n)'=nz^n-1(n为正整数)；（2）((1)/(z))'=-(1)/(z^2).

考查要点：本题主要考查利用导数定义推导基本函数的导数公式，涉及二项式展开和分式化简技巧，核心是理解导数定义中极限的运算过程。

解题思路：

1. 第（1）题：通过二项式定理展开$(z+h)^n$，减去$z^n$后，所有含$h$的项均可提取$h$，取极限时高阶小项自动消失，最终保留首项系数。
2. 第（2）题：对分式$\frac{1}{z+h} - \frac{1}{z}$通分后化简，分子分母约去$h$，再取极限时只需代入$h=0$即可。

第（1）题

根据导数定义展开

由导数定义：
$(z^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(z+h)^n - z^n}{h}$

二项式展开$(z+h)^n$

根据二项式定理：
$(z+h)^n = z^n + \binom{n}{1}z^{n-1}h + \binom{n}{2}z^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$

代入并化简

将展开式代入导数定义：
$(z^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{ \left[ z^n + nz^{n-1}h + \cdots + h^n \right] - z^n }{h} = \lim_{h \to 0} \frac{nz^{n-1}h + \cdots + h^n}{h}$

提取公因子$h$

分子提取$h$后：
$(z^n)' = \lim_{h \to 0} \left( nz^{n-1} + \binom{n}{2}z^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right)$

取极限

当$h \to 0$时，所有含$h$的项趋近于$0$，最终结果为：
$(z^n)' = nz^{n-1}$

第（2）题

根据导数定义展开

由导数定义：
$\left( \frac{1}{z} \right)' = \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{z+h} - \frac{1}{z} }{h}$

分子通分

通分后分子为：
$\frac{1}{z+h} - \frac{1}{z} = \frac{z - (z+h)}{z(z+h)} = \frac{-h}{z(z+h)}$

代入并化简

代入导数定义：
$\left( \frac{1}{z} \right)' = \lim_{h \to 0} \frac{ -h }{ z(z+h) \cdot h } = \lim_{h \to 0} \frac{ -1 }{ z(z+h) }$

取极限

当$h \to 0$时，$z+h \to z$，因此：
$\left( \frac{1}{z} \right)' = -\frac{1}{z^2}$