用拉格朗日中值定理证明不等式：(x)/(1+x)＜ln（1+x）＜x（x＞0）．

考查要点：本题主要考查拉格朗日中值定理的应用，以及如何通过变量替换将定理结论转化为目标不等式。

解题核心思路：

1. 构造合适函数：选择函数$g(t) = \ln t$，利用其导数特性$\frac{1}{t}$；
2. 应用中值定理：在区间$(a, b)$上应用定理，得到关于$\ln \frac{b}{a}$的不等式；
3. 变量替换：通过设定$\frac{b}{a} = 1 + x$，将结论转化为关于$x$的形式，最终得到目标不等式。

破题关键：

• 导数的单调性：$\frac{1}{t}$在$t > 0$时单调递减，确保不等式方向正确；
• 变量替换技巧：通过$\frac{b}{a} = 1 + x$将双变量问题转化为单变量问题。

步骤1：构造函数并应用拉格朗日中值定理

设函数$g(t) = \ln t$，在区间$(a, b)$上连续且可导（需满足$a > 0$且$b > a$）。根据拉格朗日中值定理，存在$t_0 \in (a, b)$，使得：
$g'(t_0) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{t_0} = \frac{\ln b - \ln a}{b - a}.$

步骤2：利用导数的单调性推导不等式

由于$t_0 \in (a, b)$且$\frac{1}{t}$单调递减，有：
$\frac{1}{b} < \frac{1}{t_0} < \frac{1}{a}.$
将$\frac{1}{t_0} = \frac{\ln \frac{b}{a}}{b - a}$代入，得：
$\frac{1}{b} < \frac{\ln \frac{b}{a}}{b - a} < \frac{1}{a}.$

步骤3：变量替换

令$\frac{b}{a} = 1 + x$（其中$x > 0$），则$b = a(1 + x)$，代入不等式：
$\frac{1}{a(1 + x)} < \frac{\ln (1 + x)}{a x} < \frac{1}{a}.$
两边同乘$a x$（$a > 0, x > 0$），化简得：
$\frac{x}{1 + x} < \ln (1 + x) < x.$