题目
(5)设随机变量X和Y的数学期望分别-|||-为 -2 和2,方差分别为1和4,而相关系数为-|||--0.5, 则根据切比雪夫不等式 (|X+Y|geqslant -|||-)leqslant __ _.
题目解答
答案
\\frac{1}{12};
解析
步骤 1：计算X+Y的数学期望
根据数学期望的性质，随机变量X和Y的数学期望分别为E(X)=-2和E(Y)=2，因此E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0。
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，随机变量X和Y的方差分别为Var(X)=1和Var(Y)=4，相关系数为-0.5。因此，Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。根据相关系数的定义，Cov(X,Y)=ρ*σ_X*σ_Y，其中ρ是相关系数，σ_X和σ_Y分别是X和Y的标准差。因此，Cov(X,Y)=-0.5*1*2=-1。所以，Var(X+Y)=1+4+2*(-1)=3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量Z和任意正数k，有P(|Z-E(Z)|>=k)<=Var(Z)/k^2。将Z替换为X+Y，k替换为6，E(Z)替换为0，Var(Z)替换为3，得到P(|X+Y|>=6)<=3/6^2=1/12。
根据数学期望的性质，随机变量X和Y的数学期望分别为E(X)=-2和E(Y)=2，因此E(X+Y)=E(X)+E(Y)=-2+2=0。
步骤 2：计算X+Y的方差
根据方差的性质，随机变量X和Y的方差分别为Var(X)=1和Var(Y)=4，相关系数为-0.5。因此，Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2*Cov(X,Y)，其中Cov(X,Y)是X和Y的协方差。根据相关系数的定义，Cov(X,Y)=ρ*σ_X*σ_Y，其中ρ是相关系数，σ_X和σ_Y分别是X和Y的标准差。因此，Cov(X,Y)=-0.5*1*2=-1。所以，Var(X+Y)=1+4+2*(-1)=3。
步骤 3：应用切比雪夫不等式
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量Z和任意正数k，有P(|Z-E(Z)|>=k)<=Var(Z)/k^2。将Z替换为X+Y，k替换为6，E(Z)替换为0，Var(Z)替换为3，得到P(|X+Y|>=6)<=3/6^2=1/12。