题目
下列级数发散的是() A. sum_(n=1)^infty (3^n)/(n cdot 2^n)B. (1)/(2) + (3)/(2^2) + (5)/(2^3) + (7)/(2^4) + ...C. sum_(n=1)^infty (1)/(2^2n-1)(2n-1)D. sum_(n=1)^infty n ((3)/(5) )^n
下列级数发散的是()
- A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 2^n}$
- B. $\frac{1}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{5}{2^3} + \frac{7}{2^4} + \cdots$
- C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n-1}(2n-1)}$
- D. $\sum_{n=1}^{\infty} n \left(\frac{3}{5} \right)^n$
题目解答
答案
**选项分析：**
- **选项 A：** $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(3/2)^n}{n}$
比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{2} > 1$，发散。
- **选项 B：** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$
比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{2} < 1$，收敛。
- **选项 C：** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n-1}(2n-1)}$
比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{4} < 1$，收敛。
- **选项 D：** $\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{5} \right)^n$
比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{5} < 1$，收敛。
**答案：**
发散的级数是 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：分析选项 A
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3/2)^n}{n}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{2} > 1$，因此级数发散。
步骤 2：分析选项 B
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{2} < 1$，因此级数收敛。
步骤 3：分析选项 C
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n-1}(2n-1)}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{4} < 1$，因此级数收敛。
步骤 4：分析选项 D
$\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{5} \right)^n$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{5} < 1$，因此级数收敛。
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3/2)^n}{n}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{2} > 1$，因此级数发散。
步骤 2：分析选项 B
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{2} < 1$，因此级数收敛。
步骤 3：分析选项 C
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{2n-1}(2n-1)}$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{1}{4} < 1$，因此级数收敛。
步骤 4：分析选项 D
$\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{3}{5} \right)^n$，使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \frac{3}{5} < 1$，因此级数收敛。