题目
求微分方程^11+2y'=3x-1的通解
求微分方程
的通解
题目解答
答案
本题答案为：
解：微分方程对应齐次微分方程的特征方程为：
解得：
因此其齐次微分方程的通解为：
非齐次微分方程特解形式为：
求其导数为：
将其代入微分方程中有：
解得：
因此其特解为：
即该微分方程的通解为：
因此本题答案为：
解析
步骤 1：求解齐次微分方程的特征方程
微分方程''+2y'=3x-1对应的齐次微分方程为''+2y'=0。其特征方程为${r}^{2}+2r=0$，解得$r=0$和$r=-2$。
步骤 2：写出齐次微分方程的通解
根据特征方程的解，齐次微分方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{-2x}+{C}_{2}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$为任意常数。
步骤 3：求解非齐次微分方程的特解
非齐次微分方程的特解形式为$y=x(Ax+B)$，其中$A$和$B$为待定系数。求其导数为$\hat {y}=2Ax+B$，$y''=2A$。将这些代入原微分方程中，得到$2A+2(2Ax+B)=3x-1$，即$4Ax+2A+2B=3x-1$。比较系数，得到$4A=3$和$2A+2B=-1$。解得$A=\dfrac {3}{4}$，$B=-\dfrac {5}{4}$。因此，特解为$y=\dfrac {3}{4}{x}^{2}-\dfrac {5}{4}x$。
步骤 4：写出微分方程的通解
将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解相加，得到微分方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{-2x}+{C}_{2}+\dfrac {3}{4}{x}^{2}-\dfrac {5}{4}x$。
微分方程''+2y'=3x-1对应的齐次微分方程为''+2y'=0。其特征方程为${r}^{2}+2r=0$，解得$r=0$和$r=-2$。
步骤 2：写出齐次微分方程的通解
根据特征方程的解，齐次微分方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{-2x}+{C}_{2}$，其中${C}_{1}$和${C}_{2}$为任意常数。
步骤 3：求解非齐次微分方程的特解
非齐次微分方程的特解形式为$y=x(Ax+B)$，其中$A$和$B$为待定系数。求其导数为$\hat {y}=2Ax+B$，$y''=2A$。将这些代入原微分方程中，得到$2A+2(2Ax+B)=3x-1$，即$4Ax+2A+2B=3x-1$。比较系数，得到$4A=3$和$2A+2B=-1$。解得$A=\dfrac {3}{4}$，$B=-\dfrac {5}{4}$。因此，特解为$y=\dfrac {3}{4}{x}^{2}-\dfrac {5}{4}x$。
步骤 4：写出微分方程的通解
将齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解相加，得到微分方程的通解为$y={C}_{1}{e}^{-2x}+{C}_{2}+\dfrac {3}{4}{x}^{2}-\dfrac {5}{4}x$。