题目
3.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为f（x，y）={1-e^-x-e^-y+e^-x-y x≥0,y≥0,0 其他.则二维随机变量（X，Y）的概率密度为______.
3.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为f（x，y）=
{1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-x-y} x≥0,y≥0,
0 其他.
则二维随机变量（X，Y）的概率密度为______.
题目解答
答案
为了找到二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $f(x, y)$，我们需要对分布函数 $F(x, y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 求偏导数。给定的分布函数为：
\[ F(x, y) = \begin{cases}
1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y} & \text{如果 } x \geq 0, y \geq 0, \\
0 & \text{其他情况}.
\end{cases} \]
概率密度函数 $f(x, y)$ 由分布函数的二阶偏导数给出：
\[ f(x, y) = \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y}. \]
首先，我们对 $F(x, y)$ 关于 $x$ 求偏导数：
\[ \frac{\partial F(x, y)}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y}\right) = e^{-x} - e^{-x-y}. \]
接下来，我们对结果关于 $y$ 求偏导数：
\[ \frac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-x} - e^{-x-y}\right) = e^{-x-y}. \]
因此，概率密度函数 $f(x, y)$ 为：
\[ f(x, y) = \begin{cases}
e^{-x-y} & \text{如果 } x \geq 0, y \geq 0, \\
0 & \text{其他情况}.
\end{cases} \]
所以，二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\boxed{e^{-x-y}, x \geq 0, y \geq 0; 0, \text{其他情况}}$.
解析
考查要点：本题主要考查二维随机变量分布函数与概率密度函数的关系，以及混合偏导数的计算。
解题核心思路：概率密度函数是分布函数的二阶混合偏导数。需要分别对分布函数先求关于$x$的偏导，再求关于$y$的偏导，或反之。
破题关键点：
- 确定分布函数的定义域：当$x \geq 0$且$y \geq 0$时，分布函数为给定表达式；其他情况为0。
- 计算混合偏导数：对分布函数分步求偏导，注意在定义域内求导，其他区域导数为0。
- 验证独立性：通过概率密度的乘积形式判断随机变量是否独立，进一步验证结果的合理性。
步骤1：求关于$x$的偏导数
当$x \geq 0$且$y \geq 0$时，分布函数为：
$F(x, y) = 1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y}$
对$x$求偏导：
$\frac{\partial F}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left(1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-x-y}\right) = e^{-x} - e^{-x-y}$
步骤2：求关于$y$的偏导数
对上述结果关于$y$求偏导：
$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-x} - e^{-x-y}\right) = 0 + e^{-x-y} = e^{-x-y}$
步骤3：确定定义域
当$x < 0$或$y < 0$时，分布函数为0，其偏导数也为0。因此，概率密度函数为：
$f(x, y) =
\begin{cases}e^{-x-y} & x \geq 0, y \geq 0, \\0 & \text{其他情况}.\end{cases}$
验证独立性：概率密度可分解为$e^{-x} \cdot e^{-y}$，说明$X$和$Y$独立，均服从参数为1的指数分布，与分布函数形式一致。