(本题12分)(1191)∞-|||-A 7-|||-0-|||-B∞-|||-A 7-|||-0-|||-B 将一“无限长”带电细线弯成图示形状,设电荷均匀分布,电荷线密度为,四分之一圆弧AB的半径为R,试求圆心O点的场强.

本题主要考察利用场强叠加原理计算无限长带电细线（含半无限长直线和四分之一圆弧）在圆心处产生的合场强，关键是分别计算各部分电荷在圆心的场强并进行矢量叠加。

1. 坐标系建立

在圆心$O$点建立直角坐标系，$x$轴沿$OA$方向，$y$轴沿$OB$方向（根据答案推测图形中$A$、$B$分别在$x$、$y$轴负方向附近，半无限长直线沿$x$、$y$轴负方向延伸）。

2. 半无限长直线$A\infty$的场强$\overrightarrow{E_1}$

半无限长带电直线在端点垂线上的场强公式为$E=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}$（$R$为垂足到直线的距离）。

• 直线$A\infty$沿$x$轴负方向，在$O$点产生的场强方向：$x$轴正方向（因电场线指向负电荷，若$\lambda>0$，则背离直线）和$y$轴负方向（对称性）。
• 故$\overrightarrow{E_1}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})$。

3. 半无限长直线$B\infty$的场强$\overrightarrow{E_2}$

直线$B\infty$沿$y$轴负方向，在$O$点产生的场强方向：$x$轴负方向和$y$轴正方向。

• 故$\overrightarrow{E_2}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$。

4. 四分之一圆弧$AB$的场强$\overrightarrow{E_3}$

四分之一圆弧（半径$R$）在圆心的场强公式：每个电荷元$dq=\lambda dl$的场强$d\overrightarrow{E}=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0R^2}$，方向沿径向。

• 积分得合场强大小为$\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}$，方向：$x$轴正方向和$y$轴正方向（根据圆弧位置，答案中为$\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$）。
• 故$\overrightarrow{E_3}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$。

5. 合场强计算

矢量叠加：
$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}+\overrightarrow{E_3}=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}\left[(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j})+(-\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})+(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})\right]=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0R}(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j})$