(4) (int )_(0)^+infty dfrac (dx)((1+x)(1+{x)^2)}

步骤 1：部分分式分解
首先，我们需要将被积函数 $\dfrac{1}{(1+x)(1+x^2)}$ 进行部分分式分解。设
$$
\dfrac{1}{(1+x)(1+x^2)} = \dfrac{A}{1+x} + \dfrac{Bx+C}{1+x^2}
$$
其中 $A$，$B$ 和 $C$ 是待定系数。通过将右边的表达式通分并比较分子，我们可以解出 $A$，$B$ 和 $C$ 的值。

步骤 2：求解系数
将右边的表达式通分，得到
$$
\dfrac{A(1+x^2) + (Bx+C)(1+x)}{(1+x)(1+x^2)} = \dfrac{A + Ax^2 + Bx + Bx^2 + C + Cx}{(1+x)(1+x^2)}
$$
比较分子，得到
$$
A + Ax^2 + Bx + Bx^2 + C + Cx = 1
$$
比较系数，得到
$$
\begin{cases}
A + B = 0 \\
A + C = 0 \\
B + C = 0
\end{cases}
$$
解得 $A = \dfrac{1}{2}$，$B = -\dfrac{1}{2}$，$C = -\dfrac{1}{2}$。

步骤 3：积分
将原积分分解为两个积分
$$
{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {dx}{(1+x)(1+{x}^{2})} = \dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {dx}{1+x} - \dfrac{1}{2}{\int }_{0}^{+\infty }\dfrac {x-1}{1+x^2}dx
$$
第一个积分是 $\ln(1+x)$，第二个积分可以拆分为 $\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)$ 和 $\arctan(x)$。

步骤 4：计算积分
计算积分
$$
\dfrac{1}{2}(\ln(1+x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + \arctan(x))\Big|_{0}^{+\infty}
$$
当 $x \to +\infty$ 时，$\ln(1+x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) = \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{1+x}{\sqrt{1+x^2}} \to 0$，$\arctan(x) \to \dfrac{\pi}{2}$。当 $x = 0$ 时，$\ln(1+x) - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + \arctan(x) = 0$。