题目

填空题（共15题，30.0分）39. (2.0分) 设y=sin x，则dy=____。

填空题（共15题，30.0分） 39. (2.0分) 设$y=\sin x$，则$dy=$____。

题目解答

答案

为了求函数 $ y = \sin x $ 的微分 $ dy $，我们需要使用微分的定义。微分 $ dy $ 定义为函数 $ y $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $ 与自变量 $ x $ 的微分 $ dx $ 的乘积。即： \[ dy = \frac{dy}{dx} \, dx \] 首先，我们需要求函数 $ y = \sin x $ 的导数 $ \frac{dy}{dx} $。根据三角函数的求导法则，我们知道： \[ \frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x \] 所以，导数 $ \frac{dy}{dx} $ 为 $ \cos x $。将这个导数代入微分的定义中，我们得到： \[ dy = \cos x \, dx \] 因此，函数 $ y = \sin x $ 的微分 $ dy $ 是： \[ \boxed{\cos x \, dx} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数微分的计算，需要掌握导数与微分的关系以及基本三角函数的导数公式。

解题核心思路：

  1. 微分的定义：微分$dy$等于函数的导数$\frac{dy}{dx}$乘以自变量的微分$dx$，即$dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$。
  2. 求导公式：对于$y = \sin x$，其导数为$\frac{dy}{dx} = \cos x$。
  3. 代入计算：将导数代入微分公式即可得到结果。

破题关键点：

  • 正确应用导数公式是解题的核心，需熟记$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$。
  • 微分形式需包含$dx$，不可遗漏。

  1. 求导数：
    根据三角函数的导数公式，$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$，因此$\frac{dy}{dx} = \cos x$。

  2. 计算微分：
    根据微分定义，$dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx$，代入导数得：
    $dy = \cos x \cdot dx$