题目

2.[填空题]已知四阶行列式D中第1行的元素分别为1,2,0,-4，第3行的元素的余子式依次为6,x,19,2，则x=____.

2.[填空题] 已知四阶行列式D中第1行的元素分别为1,2,0,-4， 第3行的元素的余子式依次为6,x,19,2，则x=____.

题目解答

答案

已知四阶行列式 $ D $ 中第1行元素为 $ 1, 2, 0, -4 $，第3行余子式为 $ 6, x, 19, 2 $。
第3行代数余子式为：
$A_{31} = 6, \quad A_{32} = -x, \quad A_{33} = 19, \quad A_{34} = -2$
根据行列式性质，第1行元素与第3行代数余子式和为0：
$1 \times 6 + 2 \times (-x) + 0 \times 19 + (-4) \times (-2) = 0$
化简得：
$6 - 2x + 8 = 0 \implies 14 - 2x = 0 \implies x = 7$
答案： $\boxed{7}$

解析

本题考查行列式的性质，具体是行列式中某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为$0$这一性质。解题思路如下：

  1. 首先明确余子式和代数余子式的关系。对于$n$阶行列式中元素$a_{ij}$，其余子式$M_{ij}$是去掉第$i$行和第$j$列后剩下的$(n - 1)$阶行列式，代数余子式$A_{ij}=(-1)^{i + j}M_{ij}$。
  2. 已知第$3$行元素的余子式依次为$6,x,19,2$，根据上述关系可得到第$3$行元素的代数余子式分别为：
    • $A_{31}=(-1)^{3 + 1}M_{31}=(-1)^{4}\times6 = 6$；
    • $A_{32}=(-1)^{3 + 2}M_{32}=(-1)^{5}\times x=-x$；
    • $A_{33}=(-1)^{3 + 3}M_{33}=(-1)^{6}\times19 = 19$；
    • $A_{34}=(-1)^{3 + 4}M_{34}=(-1)^{7}\times2=-2$。
  3. 然后根据行列式的性质：行列式中某一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为$0$。这里是第$1$行元素与第$3$行代数余子式，第$1$行元素分别为$1,2,0,-4$，则有$a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33}+a_{14}A_{34}=0$。
  4. 将第$1$行元素和第$3$行代数余子式代入上式可得：
    • $1\times6 + 2\times(-x)+0\times19+(-4)\times(-2)=0$。
  5. 接着对上述方程进行化简求解：
    • 先计算乘法：$6-2x + 0 + 8 = 0$。
    • 再合并同类项：$(6 + 8)-2x=0$，即$14-2x = 0$。
    • 移项可得：$2x = 14$。
    • 两边同时除以$2$：$x=\frac{14}{2}=7$。