设A=(}-2&1&10&2&0-4&1&3AP为对角阵.

矩阵 $ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 1 & 3 \end{pmatrix} $ 的特征值由特征方程 $ \det(A - \lambda I) = 0 $ 确定。计算得 \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -2 - \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 2 - \lambda & 0 \\ -4 & 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = -( \lambda + 1)(\lambda - 2)^2 = 0, \] 解得特征值为 $ \lambda_1 = -1 $，$ \lambda_2 = \lambda_3 = 2 $。 对于 $ \lambda_1 = -1 $，解 $ (A + I)\mathbf{v} = 0 $，得特征向量 $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $。 对于 $ \lambda_2 = \lambda_3 = 2 $，解 $ (A - 2I)\mathbf{v} = 0 $，得两个线性无关的特征向量 $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $ 和 $ \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} $。 由于 $ A $ 有三个线性无关的特征向量，可对角化。取 $ P = (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3) $，则 \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \] **答案：** 矩阵 $ A $ 可对角化，可逆矩阵 $ P $ 为 \[ \boxed{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} }, \] 对角矩阵 $ \Lambda $ 为 \[ \boxed{ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} }. \] （注：$ P $ 的列向量可以是任意三个线性无关的特征向量，如 $ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} $ 也是合法解。）