题目
下列函数不能作为某正态分布概率密度函数的是A(x)=(e)^-(x^2)B(x)=(e)^-(x^2)C(x)=(e)^-(x^2)D(x)=(e)^-(x^2)
下列函数不能作为某正态分布概率密度函数的是
A
B
C
D
题目解答
答案
解：
∵正态分布
，随机变量
的密度函数为
，其中
为常数，
。
∴对于选项A，由于，则不可以作为正态分布概率密度函数；
对于选项B，由于，则
；
对于选项C，由于，则
；
对于选项D，由于，则
。
故选择A
解析
步骤 1：理解正态分布概率密度函数的形式
正态分布的概率密度函数形式为$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{-\dfrac {{(x-\mu )}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，$\sigma > 0$。
步骤 2：分析选项A
对于选项A，$f(x)={e}^{-{x}^{2}}$，没有$\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }$的系数，因此不能作为正态分布的概率密度函数。
步骤 3：分析选项B
对于选项B，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {\pi }}{e}^{-{x}^{2}}$，虽然有系数$\dfrac {1}{\sqrt {\pi }}$，但其形式与正态分布的概率密度函数不完全匹配，因为$\sqrt {\pi }$不等于$\sqrt {2\pi }\sigma$，因此不能作为正态分布的概率密度函数。
步骤 4：分析选项C
对于选项C，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{2}}$，其形式与正态分布的概率密度函数匹配，其中$\mu=1$，$\sigma=1$，因此可以作为正态分布的概率密度函数。
步骤 5：分析选项D
对于选项D，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}$，其形式与正态分布的概率密度函数匹配，其中$\mu=0$，$\sigma=1$，因此可以作为正态分布的概率密度函数。
正态分布的概率密度函数形式为$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }{e}^{-\dfrac {{(x-\mu )}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$，其中$\mu$是均值，$\sigma$是标准差，$\sigma > 0$。
步骤 2：分析选项A
对于选项A，$f(x)={e}^{-{x}^{2}}$，没有$\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }$的系数，因此不能作为正态分布的概率密度函数。
步骤 3：分析选项B
对于选项B，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {\pi }}{e}^{-{x}^{2}}$，虽然有系数$\dfrac {1}{\sqrt {\pi }}$，但其形式与正态分布的概率密度函数不完全匹配，因为$\sqrt {\pi }$不等于$\sqrt {2\pi }\sigma$，因此不能作为正态分布的概率密度函数。
步骤 4：分析选项C
对于选项C，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{(x-1)}^{2}}{2}}$，其形式与正态分布的概率密度函数匹配，其中$\mu=1$，$\sigma=1$，因此可以作为正态分布的概率密度函数。
步骤 5：分析选项D
对于选项D，$f(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}$，其形式与正态分布的概率密度函数匹配，其中$\mu=0$，$\sigma=1$，因此可以作为正态分布的概率密度函数。