[题目]-|||-((x)^2+(y)^2)dx-xydy=0;

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，需要识别方程类型并进行适当的变量替换，将方程转化为可分离变量的形式。

解题核心思路：

1. 判断齐次性：验证方程中的项均为同一次数的齐次式。
2. 变量替换：令 $y = ux$，将方程转化为关于 $u$ 和 $x$ 的方程。
3. 分离变量积分：通过代数变形分离变量，分别对 $x$ 和 $u$ 积分。
4. 回代求解：将 $u = \dfrac{y}{x}$ 代回积分结果，得到原方程的通解。

破题关键点：

• 识别齐次方程：所有项均为二次齐次式。
• 正确进行变量替换：通过 $y = ux$ 简化方程结构。
• 分离变量与积分：注意积分后的常数处理。

步骤1：判断齐次方程
原方程 $(x^2 + y^2)dx - xy dy = 0$ 中，$x^2$、$y^2$、$xy$ 均为二次齐次式，因此方程为齐次方程。

步骤2：变量替换
令 $y = ux$，则 $dy = u dx + x du$。将 $y$ 和 $dy$ 代入原方程：

$\begin{aligned}(x^2 + (ux)^2)dx - x(ux)(u dx + x du) &= 0 \\x^2(1 + u^2)dx - u^2x^2 dx - u x^3 du &= 0 \\x^2 dx - u x^3 du &= 0.\end{aligned}$

步骤3：分离变量
整理方程得：
$x^2 dx = u x^3 du \implies \frac{1}{x} dx = u du.$

步骤4：积分求解
对两边分别积分：
$\int \frac{1}{x} dx = \int u du \implies \ln |x| = \frac{1}{2}u^2 + C.$

步骤5：回代变量
将 $u = \dfrac{y}{x}$ 代入积分结果：
$\ln |x| = \frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 + C \implies y^2 = x^2 (\ln x^2 + C).$