题目

int dfrac (dx)(xsqrt {{x)^2-1}}=______________

$\int_{ }^{ }\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=$ ______________

题目解答

通过观察题目中的被积函数可以发现，被积函数中存在 $\sqrt{x^2-1}$ 项，因此考虑利用三角恒等式 $\sec^2t-1=\tan^2t$ 进行换元，令 $x=\sec t$ ， $dx=\sec t\cdot\tan t\cdot dt$

$\int_{ }^{ }\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\int_{ }^{ }\frac{\sec t\cdot\tan t\cdot dt}{\sec t\sqrt{\sec^2t-1}}$

$=\int_{ }^{ }\frac{\sec t\cdot\tan t\cdot dt}{\sec t\cdot\tan t}=\int_{ }^{ }dt=t+C$

$=\operatorname{arcsec}x+C$

所以， $\int_{ }^{ }\frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}}=\operatorname{arcsec}x+C$

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是利用三角替换法处理含有$\sqrt{x^2 - a^2}$形式的积分。

解题核心思路：
当被积函数中出现$\sqrt{x^2 - a^2}$时，通常采用三角替换，令$x = a \sec t$（此处$a=1$，故令$x = \sec t$）。通过替换，将根号内的表达式转化为三角函数的恒等式，从而简化积分。

破题关键点：

识别积分形式：分母中的$\sqrt{x^2 - 1}$提示使用三角替换。
正确选择替换变量：令$x = \sec t$，并计算$dx = \sec t \tan t \, dt$。
化简积分表达式：替换后，分母中的$\sqrt{x^2 - 1}$变为$\tan t$，分子中的$dx$代入后与分母约简，最终积分简化为$\int dt$。

步骤1：三角替换
令$x = \sec t$，则$dx = \sec t \tan t \, dt$，且$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\sec^2 t - 1} = \tan t$。

步骤2：代入积分
原积分变为：
$\int \frac{\sec t \tan t \, dt}{\sec t \cdot \tan t} = \int dt.$

步骤3：积分计算
直接积分得：
$\int dt = t + C.$

步骤4：回代变量
由于$x = \sec t$，故$t = \operatorname{arcsec} x$，因此积分结果为：
$\operatorname{arcsec} x + C.$