证明若A和B都是N阶对称矩阵,则A+B,A-2B也是对称矩阵

考查要点：本题主要考查对称矩阵的性质及其线性组合的对称性证明。
解题核心思路：利用对称矩阵的定义（即矩阵等于其转置），结合矩阵转置的运算规则（加法和数乘的转置性质），验证目标矩阵的转置是否等于自身。
破题关键点：

1. 对称矩阵的定义：若矩阵$A$满足$A^T = A$，则$A$是对称矩阵。
2. 转置运算的线性性质：$(A+B)^T = A^T + B^T$，$(kA)^T = kA^T$（其中$k$为标量）。

步骤1：验证$A+B$的对称性
根据转置的加法性质：
$(A+B)^T = A^T + B^T$
由于$A$和$B$均为对称矩阵，即$A^T = A$，$B^T = B$，代入得：
$A^T + B^T = A + B$
因此，$(A+B)^T = A+B$，说明$A+B$是对称矩阵。

步骤2：验证$A-2B$的对称性
根据转置的线性性质：
$(A-2B)^T = A^T - (2B)^T = A^T - 2B^T$
同样利用$A^T = A$，$B^T = B$，代入得：
$A^T - 2B^T = A - 2B$
因此，$(A-2B)^T = A-2B$，说明$A-2B$也是对称矩阵。