题目

2.计算D=|}1+x&1&1&11&1-x&1&11&1&1+y&11&1&1&1-y|,xyneq0.

2.计算$D=|\begin{matrix}1+x&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{matrix}|,xy\neq0.$

题目解答

答案

对原行列式 $ D = \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix} $， 进行行变换： 1. 从第2、3、4行减去第1行，得 \[ \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ -x & -x & 0 & 0 \\ -x & 0 & y & 0 \\ -x & 0 & 0 & -y \end{vmatrix}. \] 2. 按第1行余子式展开，计算得 \[ D = (1+x) \cdot xy^2 - 1 \cdot xy^2 + 1 \cdot x^2y - 1 \cdot x^2y = x^2y^2. \] **答案：** $\boxed{x^2y^2}$

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式的计算，重点在于通过行变换简化行列式结构，再利用余子式展开法求解。

解题核心思路：

  1. 行变换简化行列式：通过将第2、3、4行减去第1行，制造出多个零元素，降低计算复杂度。
  2. 余子式展开法：对简化后的行列式按第一行展开，逐项计算代数余子式并求和。
  3. 合并同类项：展开后通过代数运算化简表达式，最终得到结果。

破题关键点：

  • 观察矩阵结构，利用行变换将非零元素集中在对角线附近。
  • 正确计算代数余子式，注意符号的确定。
  • 细心处理代数运算，避免符号错误。

对原行列式 $ D = \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-y \end{vmatrix} $，进行以下操作：

步骤1：行变换

将第2、3、4行分别减去第1行，得到新行列式：
$\begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 & 1 \\ - x & -x & 0 & 0 \\ - x & 0 & y & 0 \\ - x & 0 & 0 & -y \end{vmatrix}$

步骤2：按第1行展开

展开后的表达式为：
$D = (1+x) \cdot M_{11} - 1 \cdot M_{12} + 1 \cdot M_{13} - 1 \cdot M_{14}$
其中，$M_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的余子式。

步骤3：计算余子式

  1. $M_{11}$（去掉第1行第1列）：
    $\begin{vmatrix} -x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -y \end{vmatrix} = (-x)(y)(-y) = xy^2$

  2. $M_{12}$（去掉第1行第2列）：
    $\begin{vmatrix} -x & 0 & 0 \\ -x & y & 0 \\ -x & 0 & -y \end{vmatrix} = (-x)(y \cdot (-y) - 0) = xy^2$

  3. $M_{13}$（去掉第1行第3列）：
    $\begin{vmatrix} -x & -x & 0 \\ -x & 0 & 0 \\ -x & 0 & -y \end{vmatrix} = (-y)[(-x)(0) - (-x)(-x)] = x^2y$

  4. $M_{14}$（去掉第1行第4列）：
    $\begin{vmatrix} -x & -x & 0 \\ -x & 0 & y \\ -x & 0 & 0 \end{vmatrix} = y[(-x)(0) - (-x)(-x)] = -x^2y$

步骤4：代入并化简

$\begin{aligned}D &= (1+x) \cdot xy^2 - 1 \cdot xy^2 + 1 \cdot x^2y - 1 \cdot (-x^2y) \\&= xy^2 + x^2y^2 - xy^2 + x^2y + x^2y \\&= x^2y^2\end{aligned}$