题目
3)向量组的最大无关组·求向量组alpha_(1)=(1,3,0,2)^T,alpha_(2)=(-1,1,2,-1)^T,alpha_(3)=(3,1,-4,4)^T,的秩及一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示.
3)向量组的最大无关组
·求向量组$\alpha_{1}=(1,3,0,2)^{T},\alpha_{2}=(-1,1,2,-1)^{T},\alpha_{3}=(3,1,-4,4)^{T},$的秩及一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示.
题目解答
答案
为了求向量组 $\alpha_1 = (1, 3, 0, 2)^T$, $\alpha_2 = (-1, 1, 2, -1)^T$, $\alpha_3 = (3, 1, -4, 4)^T$ 的秩及一个最大无关组，并将剩余向量用此最大无关组线性表示，我们可以按照以下步骤进行：
1. **将向量组构成一个矩阵：**
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
3 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\]
2. **对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形：**
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
3 & 1 & 1 \\
0 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2 - 3r_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 4 & -8 \\
0 & 2 & -4 \\
2 & -1 & 4
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_4 - 2r_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 4 & -8 \\
0 & 2 & -4 \\
0 & 1 & -2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2 \leftrightarrow r_4}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 2 & -4 \\
0 & 4 & -8
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_3 - 2r_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & -8
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_4 - 4r_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
3. **确定向量组的秩和最大无关组：**
矩阵的行阶梯形为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
矩阵的秩为 2，即向量组的秩为 2。最大无关组可以取对应于行阶梯形中非零行的首非零元所在列的向量，即 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$。
4. **将剩余向量用最大无关组线性表示：**
从行阶梯形中，我们可以得到：
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
这表示 $\alpha_3 = 3\alpha_1 - 2\alpha_2$。
因此，向量组的秩为 2，一个最大无关组为 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$，且 $\alpha_3 = 3\alpha_1 - 2\alpha_2$。
最终答案为：
\[
\boxed{2, \{\alpha_1, \alpha_2\}, \alpha_3 = 3\alpha_1 - 2\alpha_2}
\]
解析
本题考查向量组的秩、最大无关组的求解以及向量用最大无关组线性表示的知识。解题思路是先将向量组构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，通过行阶梯形矩阵确定向量组的秩和最大无关组，最后根据行阶梯形矩阵的关系将其余向量用最大无关组线性表示。
- 将向量组构成矩阵：
已知向量组$\alpha_{1}=(1,3,0,2)^{T},\alpha_{2}=(-1,1,2,-1)^{T},\alpha_{3}=(3,1,-4,4)^{T}$，将其按列构成矩阵$A$：
$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$ - 对矩阵$A$进行初等行变换化为行阶梯形：
- 第一步：$r_2 - 3r_1$，即第二行减去第一行的$3$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$。
- 第二步：$r_4 - 2r_1$，即第四行减去第一行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -8 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}$。
- 第三步：$r_2 \leftrightarrow r_4$，交换第二行和第四行，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \\ 0 & 4 & -8 \end{pmatrix}$。
- 第四步：$r_3 - 2r_2$，即第三行减去第二行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -8 \end{pmatrix}$。
- 第五步：$r_4 - 4r_2$，即第四行减去第二行的$4$倍，得到$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
- 确定向量组的秩和最大无关组：
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩，此矩阵的秩为$2$，所以向量组的秩为$2$。最大无关组可以取对应于行阶梯形中非零行的首非零元所在列的向量，即$\alpha_1$和$\alpha_2$。 - 将剩余向量用最大无关组线性表示：
设$\alpha_3 = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2$，根据行阶梯形矩阵$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，可得方程组$\begin{cases}x_1 - x_2 = 3 \\ x_2 = -2\end{cases}$，将$x_2 = -2$代入$x_1 - x_2 = 3$，解得$x_1 = 3 + x_2 = 3 + (-2) = 1$，所以$\alpha_3 = 3\alpha_1 - 2\alpha_2$。