题目
(2) (1 (2 (3-|||-6.求向量组α1= 4 ,α2= 1 ,α3= 3 ,α4= 5 的一个极大无关组并将其余向量由极大无关组线-|||-2 0 1 J 2-|||-性表示.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵
构造一个以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为列向量的矩阵 $A$。
$$
A = \left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 4& 1& 3& 5\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
$$
\left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 4& 1& 3& 5\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 2& 0& 1& 2\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 0& 1& 1& 1\\ 2& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& \dfrac {1}{2}& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：确定极大无关组
从化简后的矩阵中，可以看出 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 是线性无关的，因此它们构成极大无关组。
步骤 4：表示其余向量
根据化简后的矩阵，可以得到 $\alpha_3$ 和 $\alpha_4$ 由极大无关组线性表示的表达式。
$$
\alpha_3 = \dfrac {1}{2}\alpha_1 + \alpha_2
$$
$$
\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2
$$
构造一个以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 为列向量的矩阵 $A$。
$$
A = \left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 4& 1& 3& 5\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 2：进行初等行变换
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。
$$
\left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 4& 1& 3& 5\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 2& 1& 2& 3\\ 2& 0& 1& 2\\ 2& 0& 1& 2\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 0& 1& 1& 1\\ 2& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right. \rightarrow \left (\begin{matrix} 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& \dfrac {1}{2}& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} ) \right.
$$
步骤 3：确定极大无关组
从化简后的矩阵中，可以看出 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 是线性无关的，因此它们构成极大无关组。
步骤 4：表示其余向量
根据化简后的矩阵，可以得到 $\alpha_3$ 和 $\alpha_4$ 由极大无关组线性表示的表达式。
$$
\alpha_3 = \dfrac {1}{2}\alpha_1 + \alpha_2
$$
$$
\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2
$$