题目

已知方程 '-y=0 的积分曲线在点O (0,0)处与直线 y=x 相切,-|||-则该积分曲线的方程为 ()-|||-(4分)-|||-A =-dfrac (1)(2)((e)^x-(e)^-x)-|||-B =dfrac (1)(2)((e)^x-(e)^-x)-|||-C =dfrac (1)(2)((e)^x+(e)^-x)-|||-D =dfrac (1)(2)((e)^-x-(e)^x)

题目解答

答案

解析

本题考查二阶常系数线性线性齐次微分方程的求解，解题思路是先求出该微分方程的通解，再根据给定的初始条件确定通解中的常数，从而得到积分曲线的方程。

  1. 求微分方程$y'' - y = 0$的通解：
    • 对于二阶常系数线性齐次微分方程$y'' + py' + qy = 0$（其中$p = 0$，$q = -1$），其特征方程为$r^{2}+pr + q = 0$，将$p = 0$，$q = -1$代入可得特征方程为$1) \(r^{2}-1 = 0$。
    • 求解特征方程$r^{2}-1 = 0$，根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，可将方程变形为$(r + 1)(r - 1) = 0$。
    • 要使$(r + 1)(r - 1) = 0$成立，则$r + 1 = 0$或$r - 1 = 0$，解得$r_1 = 1$，$r_2 = -1$。
    • 当特征根$r_1\neq r_2$，根据二阶常系数线性齐次微分方程通解的形式，当特征根为两个不相等的实根$r_1$和$r_2$时，通解为$y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$，所以该微分方程的通解为$y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$。
  2. 对通解求导：
    • 对$y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$求导，根据求导公式$(e^{ax})^\prime=e^{x}$，$(e^{-x})^\prime=-e^{-x}$，可得$y^\prime = C_1e^{x}-C_2e^{-x}$。
  3. 根据初始条件确定常数$C_1$和$C_2$：
    • 已知曲线过点$(0,0)$，将$x = 0$，$y = 0$代入通解$y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$中，可得$0 = C_1e^{0}+C_2e^{-0}$，因为$e^{0}=1$，所以$0 = C_1 + C_2$。
    • 又因为曲线在点$(0,0)$处的切线斜率$k = 1$，而切线斜率就是函数在该点的导数值，将$x = 0$，$y^\prime = 1$代入$y^\prime = C_1e^{x}-C_2e^{-x}$中，可得$1 = C_1e^{0}-C_2e^{-0}$，即$1 = C_1 - C_2$。
    • 联立方程组$\begin{cases}C_1 + C_2 = 0\\C_1 - C_2 =1\end{cases}$，将两式相加消去$C_2$可得：$2C_1 = 1$，解得$C_1=\frac{1}{2}$。
    • 将$2) \(C_1=\frac{1}{2}$代入$C_1 + C_2 = 0$，可得$\frac{1}{2}+C_2 = 0$，解得$C_2=-\frac{1}{2}$。
  4. 得到积分曲线方程：
    • 将$C_1=\frac{1}{2}$，$C_2=-\frac{1}{2}$代入通解$y = C_1e^{x}+C_2e^{-x}$中，可得$y=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x}=\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})$。