11. 求曲线x=t,y=t^2,z=t^3在点(1,1,1)处的切线与法平面方程。解：曲线在点(1,1,1)处对应的参数t=1，由x'=1，y'=2t，z'=3t²得曲线在该点的切向量vec(T)=(t,2t,3t^2)=(1,2,3)切线方程为：(x-1)/(1)=(y-1)/(2)=(z-1)/(3)法平面方程为(x-1)+2(y-1)-3(z-1)=0 即：x+2y+3z-6=0

本题考查空间曲线的切线与法平面方程的求解。解题思路如下：

1. 首先，根据曲线的参数方程$x = t$，$y = t^{2}$，$z = t^{3}$以及给定的点$(1,1,1)$，通过令$x=t = 1$，$y=t^{2}=1$，$z=t^{3}=1$，可确定该点对应的参数$t$的值。
2. 然后，对曲线的参数方程分别求导，得到$x'$，$y'$，$z'$。根据空间曲线切向量的定义，曲线在某点的切向量$\vec{T}$为$(x',y',z')$，将步骤1中求得的$t$值代入切向量表达式，即可得到该点的切向量。
3. 最后，根据空间曲线切线方程和法平面方程的公式进行求解。
   • 空间曲线$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{array}\right.$在点$(x_0,y_0,z_0)$（对应参数$t = t_0$）处的切线方程为$\frac{x - x_0}{x'(t_0)}=\frac{y - y_0}{y'(t_0)}=\frac{z - z_0}{z'(t_0)}$。
   • 空间曲线$\left\{\begin{array}{l}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{array}\right.$在点$(x_0,y_0,z_0)$（对应参数$t = t_0$）处的法平面方程为$x'(t_0)(x - x_0)+y'(t_0)(y - y_0)+z'(t_0)(z - z_0)=0$。

下面进行详细计算：

1. 确定参数$t$的值：
   已知曲线方程$x=t$，$y=t^{2}$，$z=t^{3}$，点为$(1,1,1)$，令$x=t = 1$，$y=t^{2}=1$，$z=t^{3}=1$，解得$t = 1$。
2. 计算切向量：
   对$x=t$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$x^\prime=\frac{dx}{dt}=1$；
   对$y=t^{2}$求导，可得$y^\prime=\frac{dy}{dt}=2t$；
   对$z=t^{3}$求导，可得$z^\prime=\frac{dz}{dt}=3t^{2}$。
   所以曲线的切向量$\vec{T}=(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(1,2t,3t^{2})$，将$t = 1$代入切向量表达式，得到$\vec{T}=(1,2\times1,3\times1^{2})=(1,2,3)$。
3. 求切线方程：
   已知点$(1,1,1)$，切向量$\vec{T}=(1,2,3)$，根据切线方程公式$\frac{x - x_0}{x'(t_0)}=\frac{y - y_0}{y'(t_0)}=\frac{z - z_0}{z'(t_0)}$，其中$x_0 = 1$，$y_0 = 1$，$z_0 = 1$，$x'(t_0)=1$，$y'(t_0)=2$，$z'(t_0)=3$，可得切线方程为$\frac{x - 1}{1}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z - 1}{3}$。
4. 求法平面方程：
   已知点$(1,1,1)$，切向量$\vec{T}=(1,2,3)$，根据法平面方程公式$x'(t_0)(x - x_0)+y'(t_0)(y - y_0)+z'(t_0)(z - z_0)=0$，其中$x_0 = 1$，$y_0 = 1$，$z_0 = 1$，$x'(t_0)=1$，$y'(t_0)=2$，$z'(t_0)=3$，可得法平面方程为$1\times(x - 1)+2\times(y - 1)+3\times(z - 1)=0$。
   展开式子得$x - 1 + 2y - 2 + 3z - 3 = 0$，合并同类项得$x + 2y + 3z - 6 = 0$。