3.(2021年数学一,5分)设函数 y=y(x) 由参数方程 ^2)(|)_(t=0)= __ _"

考查要点：本题主要考查参数方程确定的函数的二阶导数计算，涉及链式法则和分式化简。

解题核心思路：

1. 参数方程求导：先分别对参数方程中的$x(t)$和$y(t)$求关于$t$的一阶导数$\frac{dx}{dt}$和$\frac{dy}{dt}$，再通过$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$得到一阶导数。
2. 二阶导数计算：对一阶导数$\frac{dy}{dx}$再次关于$x$求导，需通过链式法则转换为关于$t$的导数，最终除以$\frac{dx}{dt}$得到$\frac{d^2y}{dx^2}$。

破题关键点：

• 化简一阶导数：分子分母可能约分简化，减少后续计算量。
• 链式法则应用：明确$\frac{d}{dx} = \frac{d}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$，其中$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}}$。

步骤1：求一阶导数$\frac{dy}{dx}$

1. 计算$\frac{dx}{dt}$
   $x = 2e^t + t + 1 \implies \frac{dx}{dt} = 2e^t + 1$

2. 计算$\frac{dy}{dt}$
   $y = 4(t-1)e^t + t^2$
   对$y$求导：

   • 第一项用乘积法则：$\frac{d}{dt}[4(t-1)e^t] = 4e^t + 4(t-1)e^t = 4te^t$
   • 第二项导数为$2t$
     因此：
     $\frac{dy}{dt} = 4te^t + 2t$

3. 求$\frac{dy}{dx}$
   $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{4te^t + 2t}{2e^t + 1} = \frac{2t(2e^t + 1)}{2e^t + 1} = 2t$

步骤2：求二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$

1. 对$\frac{dy}{dx}$关于$x$求导
   $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(2t\right) = \frac{d}{dt}(2t) \cdot \frac{dt}{dx}$
   其中：

   • $\frac{d}{dt}(2t) = 2$
   • $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{2e^t + 1}$

2. 代入$t=0$
   $\frac{d^2y}{dx^2}\Bigg|_{t=0} = 2 \cdot \frac{1}{2e^0 + 1} = \frac{2}{3}$