设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件

步骤 1：应用泰勒公式
根据泰勒公式，对于函数 $f(x)$ 在点 $c$ 处的二阶展开式为：
$$f(x) = f(c) + f'(c)(x-c) + \frac{f''(\xi)}{2!}(x-c)^2$$
其中，$\xi$ 在 $c$ 和 $x$ 之间，即 $c < \xi < x$ 或 $x < \xi < c$。

步骤 2：分别令 $x=0$ 和 $x=1$
将 $x=0$ 和 $x=1$ 分别代入泰勒公式中，得到：
$$f(0) = f(c) - f'(c)c + \frac{f''(\xi_1)}{2!}c^2$$
$$f(1) = f(c) + f'(c)(1-c) + \frac{f''(\xi_2)}{2!}(1-c)^2$$
其中，$0 < \xi_1 < c < 1$ 和 $0 < c < \xi_2 < 1$。

步骤 3：两式相减
将上述两式相减，得到：
$$f(1) - f(0) = f'(c) + \frac{1}{2!}[f''(\xi_2)(1-c)^2 - f''(\xi_1)c^2]$$
由于 $|f(x)| \leqslant a$ 和 $|f''(x)| \leqslant b$，可以得到：
$$|f(1) - f(0)| \leqslant 2a$$
$$|f''(\xi_2)(1-c)^2 - f''(\xi_1)c^2| \leqslant b[(1-c)^2 + c^2]$$
由于 $(1-c)^2 + c^2 \leqslant 1$，可以得到：
$$|f'(c)| \leqslant 2a + \frac{b}{2}$$