题目
10、判断设S为椭球面(x^2)/(2)+(y^2)/(2)+z^2=1的上半部分，点P(x,y,z)∈Sπ为S在点P处的切平面，ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，则iint(zds)/(rho(x,y,z))=(3)/(2)pi.(10分)A √B ×
10、判断
设S为椭球面$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$的上半部分，点P(x,y,z)∈S
π为S在点P处的切平面，ρ(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面π的距离，则$\iint\frac{zds}{\rho(x,y,z)}=\frac{3}{2}\pi.$
(10分)
A √
B ×
题目解答
答案
椭球面方程为 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + z^2 = 1$，上半部分为 $z \geq 0$。
切平面方程为 $x_0x + y_0y + 2z_0z = 2$，原点到切平面的距离 $\rho = \frac{2}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + 4z_0^2}}$。
曲面积分 $\iint_S \frac{z}{\rho} \, ds$ 转换为
\[
\frac{z}{\rho} \, ds = \frac{z \sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2z} \, dxdy = \frac{x^2 + y^2 + 4z^2}{4} \, dxdy.
\]
利用 $x^2 + y^2 + 2z^2 = 2$，得 $x^2 + y^2 + 4z^2 = 4 - (x^2 + y^2)$。
在极坐标系中积分，范围为 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，结果为
\[
\int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \left( r - \frac{r^3}{4} \right) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{2}.
\]
因此，原陈述正确，答案为 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定椭球面方程和切平面方程
椭球面方程为 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + z^2 = 1$，上半部分为 $z \geq 0$。 切平面方程为 $x_0x + y_0y + 2z_0z = 2$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是椭球面上的点。
步骤 2：计算原点到切平面的距离
原点到切平面的距离 $\rho = \frac{2}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + 4z_0^2}}$。
步骤 3：转换曲面积分为二重积分
曲面积分 $\iint_S \frac{z}{\rho} \, ds$ 转换为 \[ \frac{z}{\rho} \, ds = \frac{z \sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2z} \, dxdy = \frac{x^2 + y^2 + 4z^2}{4} \, dxdy. \]
步骤 4：利用椭球面方程简化被积函数
利用 $x^2 + y^2 + 2z^2 = 2$，得 $x^2 + y^2 + 4z^2 = 4 - (x^2 + y^2)$。
步骤 5：在极坐标系中积分
在极坐标系中积分，范围为 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，结果为 \[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \left( r - \frac{r^3}{4} \right) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{2}. \]
椭球面方程为 $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + z^2 = 1$，上半部分为 $z \geq 0$。 切平面方程为 $x_0x + y_0y + 2z_0z = 2$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是椭球面上的点。
步骤 2：计算原点到切平面的距离
原点到切平面的距离 $\rho = \frac{2}{\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + 4z_0^2}}$。
步骤 3：转换曲面积分为二重积分
曲面积分 $\iint_S \frac{z}{\rho} \, ds$ 转换为 \[ \frac{z}{\rho} \, ds = \frac{z \sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + y^2 + 4z^2}}{2z} \, dxdy = \frac{x^2 + y^2 + 4z^2}{4} \, dxdy. \]
步骤 4：利用椭球面方程简化被积函数
利用 $x^2 + y^2 + 2z^2 = 2$，得 $x^2 + y^2 + 4z^2 = 4 - (x^2 + y^2)$。
步骤 5：在极坐标系中积分
在极坐标系中积分，范围为 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，结果为 \[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \left( r - \frac{r^3}{4} \right) \, dr \, d\theta = \frac{3\pi}{2}. \]