题目

50.随机变量U服从区间 [ -2,2] 上的均匀分布,随机变量-|||-X= ) -1, Uleqslant -1, 1, Ugt -1 .-|||-。-|||-(1)求X,Y的联合分布律;-|||-(2)求 (X+Y).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维离散型随机变量的联合分布律以及方差的计算。关键在于理解随机变量X和Y如何由U的取值区间划分，并正确计算各组合的概率。

解题思路：

  1. 划分U的区间：根据X和Y的定义，将U的取值范围[-2,2]划分为三个区间，分别对应不同的(X,Y)组合。
  2. 计算概率：利用均匀分布的概率密度，计算每个区间对应的概率。
  3. 方差计算：通过求X+Y的期望和平方期望，或直接分析X+Y的分布来计算方差。

破题关键：

  • 明确X和Y的取值条件，确定(X,Y)的可能组合。
  • 注意(X,Y)=(-1,1)的情况概率为0，因为U无法同时满足U≤-1和U>1。

第（1）题：求X,Y的联合分布律

  1. 划分U的区间：

    • 当U ∈ [-2, -1]时：X=-1，Y=-1（因U ≤ -1 < 1）。
    • 当U ∈ (-1, 1]时：X=1，Y=-1（因U > -1但U ≤ 1）。
    • 当U ∈ (1, 2]时：X=1，Y=1（因U > 1）。

  2. 计算各区间概率：

    • U ∈ [-2, -1]：区间长度1，概率为$\frac{1}{4}$。
    • U ∈ (-1, 1]：区间长度2，概率为$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
    • U ∈ (1, 2]：区间长度1，概率为$\frac{1}{4}$。

  3. 联合分布律：

    • $(X,Y)=(-1,-1)$的概率为$\frac{1}{4}$。
    • $(X,Y)=(-1,1)$的概率为$0$（无重叠区间）。
    • $(X,Y)=(1,-1)$的概率为$\frac{1}{2}$。
    • $(X,Y)=(1,1)$的概率为$\frac{1}{4}$。

第（2）题：求$D(X+Y)$

  1. 确定X+Y的可能取值：

    • $X+Y=-2$（概率$\frac{1}{4}$）。
    • $X+Y=0$（概率$\frac{1}{2}$）。
    • $X+Y=2$（概率$\frac{1}{4}$）。

  2. 计算期望$E(X+Y)$：
    $E(X+Y) = (-2) \cdot \frac{1}{4} + 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 0.$

  3. 计算$E[(X+Y)^2]$：
    $E[(X+Y)^2] = (-2)^2 \cdot \frac{1}{4} + 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^2 \cdot \frac{1}{4} = 2.$

  4. 方差计算：
    $D(X+Y) = E[(X+Y)^2] - [E(X+Y)]^2 = 2 - 0 = 2.$