设有向量组α 1 =（1，-1，2，4），α 2 =（0，3，1，2），α 3 =（3，0，7，14），α 4 =（1，-2，2，0），α 5 =（2，1，5，10），则该向量组的 极大线性无关组是（ ）。A. α 1 ，α 2 ，α 3B. α 1 ，α 2 ，α 4C. α 1 ，α 2 ，α 5D. α 1 ，α 2 ，α 4 ，α 5

考查要点：本题主要考查向量组极大线性无关组的求解方法，需要掌握矩阵的行简化阶梯形（RREF）及其在判断向量组线性相关性中的应用。

解题核心思路：

1. 构造矩阵：将向量组作为列向量组成矩阵。
2. 行变换化阶梯形：通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，确定主元所在列。
3. 确定极大无关组：主元对应的原列向量即构成极大线性无关组。

破题关键点：

• 主元位置：阶梯形矩阵中主元所在的列对应原矩阵中的线性无关向量。
• 秩的性质：矩阵的秩等于极大线性无关组的向量个数，且其他向量可由这些向量线性表示。

将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \alpha_5$ 作为列向量构造矩阵 $A$，进行行变换化为阶梯形：

$A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\-1 & 3 & 0 & -2 & 1 \\2 & 1 & 7 & 2 & 5 \\4 & 2 & 14 & 0 & 10\end{bmatrix}$

行变换过程：

1. 第一列处理：用第1行消去下方元素，得到：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & -4 & 2 \end{bmatrix}$

2. 第二列处理：交换第2行与第3行，用第2行消去下方元素，得到：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \end{bmatrix}$

3. 第四列处理：将第3行归一化为 $[0 \ 0 \ 0 \ 1 \ 0]$，用第3行消去第4行，最终阶梯形为：
   $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

主元位置：第1、2、4列，对应原向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$。
结论：极大线性无关组为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$。