2.19设连续型随机变量X的分布函数为-|||-F(x)= ),xgeqslant 0 0,xlt 0

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的分布函数性质、概率密度函数的求法以及概率计算。

解题思路：

1. 分布函数性质：利用分布函数在无穷远处的极限值（趋近于1）和分段点处的连续性建立方程，求解常数。
2. 概率密度函数：对分布函数求导得到概率密度函数。
3. 概率计算：通过分布函数的差值计算指定区间的概率。

破题关键：

• 分布函数连续性：在分段点$x=0$处，左右极限相等。
• 极限值条件：当$x \to +\infty$时，分布函数值为1。
• 导数计算：正确求导分布函数的表达式。

(1) 求常数$a$和$b$

分布函数在$x=0$处连续

当$x \to 0^+$时，$F(0^+) = a + b e^{0} = a + b$；当$x \to 0^-$时，$F(0^-) = 0$。
由连续性得：
$a + b = 0 \quad \text{(1)}$

分布函数在$x \to +\infty$时的极限

当$x \to +\infty$时，$e^{-x^2/2} \to 0$，故$F(+\infty) = a = 1$。
代入方程(1)得：
$1 + b = 0 \implies b = -1.$

结论：$a = 1$，$b = -1$。

(2) 求概率密度函数$f(x)$

概率密度函数为分布函数的导数：
$f(x) = F'(x).$

当$x < 0$时

$F(x) = 0$，故$f(x) = 0$。

当$x \geq 0$时

$F(x) = 1 - e^{-x^2/2},$
求导得：
$f(x) = \frac{d}{dx} \left(1 - e^{-x^2/2}\right) = x e^{-x^2/2}.$

结论：
$f(x) = \begin{cases} x e^{-x^2/2}, & x \geq 0, \\0, & x < 0.\end{cases}$

(3) 求$P\left\{ \sqrt{\ln 4} < X < \sqrt{\ln 16} \right\}$

概率计算公式为：
$P(a < X < b) = F(b) - F(a).$

计算$F\left(\sqrt{\ln 16}\right)$

$F\left(\sqrt{\ln 16}\right) = 1 - e^{-\left(\sqrt{\ln 16}\right)^2 / 2} = 1 - e^{-\ln 16 / 2} = 1 - e^{-\ln 4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.$

计算$F\left(\sqrt{\ln 4}\right)$

$F\left(\sqrt{\ln 4}\right) = 1 - e^{-\left(\sqrt{\ln 4}\right)^2 / 2} = 1 - e^{-\ln 4 / 2} = 1 - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$

求概率差

$P = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0.25.$