题目

设1 0 0 0-|||-A= -2 3 0 0-|||-0 -4 5 0-|||-0 0 -6 7,1 0 0 0-|||-A= -2 3 0 0-|||-0 -4 5 0-|||-0 0 -6 7为4阶单位矩阵，且1 0 0 0-|||-A= -2 3 0 0-|||-0 -4 5 0-|||-0 0 -6 7,则1 0 0 0-|||-A= -2 3 0 0-|||-0 -4 5 0-|||-0 0 -6 7_____.

设 $A=\begin{pmatrix} 1&0 &0 & 0\\ -2& 3 & 0& 0\\ 0 & -4 & 5 & 0\\ 0& 0 & -6 &7 \end{pmatrix}$ , $E$ 为4阶单位矩阵，且 $B=\left(E+A\right)^{-1}\left(E-A\right)$ ,则 $\left(E+B\right)^{-1}=$ _____.

题目解答

答案

由题意可知 $B=\left(E+A\right)^{-1}\left(E-A\right)$

∴ $\left(E+A\right)B=\left(E-A\right)$ ，即 $AB+A+B=E$ ,从而 $E=AB+A+B=\left(A+E\right)\left(B+E\right)-E$ ,即 $\left(A+E\right)\left(B+E\right)=2E$ ,亦即 $\frac{1}{2}\left(A+E\right)\left(B+E\right)=E$ $\left(B+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}\left(A+E\right)=\begin{pmatrix} 1&0 &0 & 0\\ -1& 2 & 0& 0\\ 0 & -2 & 3 & 0\\ 0& 0 & -3&4 \end{pmatrix}$

解析

步骤 1：计算$B={(E+A)}^{-1}(E-A)$
根据题目条件，我们有$B={(E+A)}^{-1}(E-A)$，其中$E$是单位矩阵，$A$是给定的矩阵。

步骤 2：推导$(E+A)B=(E-A)$
由$B={(E+A)}^{-1}(E-A)$，两边同时左乘$(E+A)$，得到$(E+A)B=(E+A){(E+A)}^{-1}(E-A)=(E-A)$。

步骤 3：推导$AB+A+B=E$
由$(E+A)B=(E-A)$，展开得到$EB+AB=E-A$，即$AB+A+B=E$。

步骤 4：推导$(A+E)(B+E)=2E$
由$AB+A+B=E$，两边同时加上$E$，得到$AB+A+B+E=2E$，即$(A+E)(B+E)=2E$。

步骤 5：计算${(E+B)}^{-1}$
由$(A+E)(B+E)=2E$，两边同时乘以$\dfrac {1}{2}$，得到$\dfrac {1}{2}(A+E)(B+E)=E$，即$(E+B)^{-1}=\dfrac {1}{2}(A+E)$。