题目
[题目]已知当 arrow 0 时, ((1+a{x)^2)}^dfrac (1{3)}-1 与 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_4d9affc047bc80c6ee60c20e89110814.jpg-cos x 是等-|||-价无穷小,则常数 a=0 ()-|||-A. dfrac (3)(2)-|||-B. dfrac (2)(3)-|||-C.2-|||-D.3
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等价无穷小的性质
当 $x\rightarrow 0$ 时，$(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$，其中 $\alpha$ 是常数。因此，${(1+a{x}^{2})}^{\dfrac {1}{4}}-1 \sim \dfrac{1}{4}a{x}^{2}$。
步骤 2：利用等价无穷小的性质
当 $x\rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \sim \dfrac{{x}^{2}}{2}$。
步骤 3：根据题意，等价无穷小的条件
由于 ${(1+a{x}^{2})}^{\dfrac {1}{4}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小，所以有 $\dfrac{1}{4}a{x}^{2} \sim \dfrac{{x}^{2}}{2}$。
步骤 4：求解常数 $a$
根据等价无穷小的条件，可以得到 $\dfrac{1}{4}a = \dfrac{1}{2}$，从而解得 $a = \dfrac{3}{2}$。
当 $x\rightarrow 0$ 时，$(1+x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$，其中 $\alpha$ 是常数。因此，${(1+a{x}^{2})}^{\dfrac {1}{4}}-1 \sim \dfrac{1}{4}a{x}^{2}$。
步骤 2：利用等价无穷小的性质
当 $x\rightarrow 0$ 时，$1-\cos x \sim \dfrac{{x}^{2}}{2}$。
步骤 3：根据题意，等价无穷小的条件
由于 ${(1+a{x}^{2})}^{\dfrac {1}{4}}-1$ 与 $1-\cos x$ 是等价无穷小，所以有 $\dfrac{1}{4}a{x}^{2} \sim \dfrac{{x}^{2}}{2}$。
步骤 4：求解常数 $a$
根据等价无穷小的条件，可以得到 $\dfrac{1}{4}a = \dfrac{1}{2}$，从而解得 $a = \dfrac{3}{2}$。