[题目]已知当 arrow 0 时, ((1+a{x)^2)}^dfrac (1{3)}-1 与 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_4d9affc047bc80c6ee60c20e89110814.jpg-cos x 是等-|||-价无穷小,则常数 a=0 ()-|||-A. dfrac (3)(2)-|||-B. dfrac (2)(3)-|||-C.2-|||-D.3

考查要点：本题主要考查等价无穷小的性质及泰勒展开的应用。
解题思路：当$x \rightarrow 0$时，两个无穷小量等价意味着它们的主部系数相等。需将两个表达式展开至二次项，比较系数求解$a$的值。
关键点：

1. 等价无穷小替换：$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$；
2. 泰勒展开：$(1 + a x^2)^{\frac{1}{3}} - 1$展开至二次项，保留主部。

步骤1：展开两个表达式

1. 处理$1 - \cos x$：
   由泰勒展开，$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，故
   $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}.$

2. 处理$(1 + a x^2)^{\frac{1}{3}} - 1$：
   对$(1 + t)^{\frac{1}{3}}$展开至一次项（$t = a x^2$）：
   $(1 + t)^{\frac{1}{3}} \approx 1 + \dfrac{1}{3}t + o(t).$
   代入$t = a x^2$，得：
   $(1 + a x^2)^{\frac{1}{3}} - 1 \approx \dfrac{1}{3} a x^2.$

步骤2：比较主部系数
两表达式等价，故主部系数相等：
$\dfrac{1}{3} a = \dfrac{1}{2}.$
解得：
$a = \dfrac{3}{2}.$