题目
已知三阶行列式 中第一行元素依次为第三行元素的代数余子式分别为 , 则
已知三阶行列式 
中第一行元素依次为
第三行元素的代数余子式分别为 
, 则
题目解答
答案
对于一个 
行列式，如果选择某一行的元素，分别乘以其他行的对应代数余子式，并将其和求出，那么这个和必定为零：
其中 
是第 1 行的元素，
是第 
行的对应代数余子式。
- 第一行的元素为：
- 第三行的代数余子式分别为：
根据题意，我们选择第一行的元素和第三行的代数余子式相乘，并令其和为零：
展开并化简：
解析
步骤 1：理解代数余子式
代数余子式是行列式中去掉某一行和某一列后剩余的行列式，乘以相应的符号（$(-1)^{i+j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别是去掉的行和列的索引）。
步骤 2：应用代数余子式性质
对于一个 $n \times n$ 行列式，如果选择某一行的元素，分别乘以其他行的对应代数余子式，并将其和求出，那么这个和必定为零。即：
${a}_{1}1.{A}_{1}1+{a}_{1}.{a}_{1.2}+{a}_{1.3}\cdot {A}_{1.3}=0$
其中 $a_{1,j}$ 是第 1 行的元素，$A_{1,j}$ 是第 1 行的对应代数余子式。
步骤 3：代入已知条件
- 第一行的元素为：-1, 2+t, 1
- 第三行的代数余子式分别为：5, 3, 2
根据题意，我们选择第一行的元素和第三行的代数余子式相乘，并令其和为零：
$-1 \times 5 + (2+t) \times 3 + 1 \times 2 = 0$
步骤 4：展开并化简
$-5 + 3(2+t) + 2 = 0$
$-5 + 6 + 3t + 2 = 0$
$3 + 3t = 0$
$3t = -3$
$t = -1$
代数余子式是行列式中去掉某一行和某一列后剩余的行列式，乘以相应的符号（$(-1)^{i+j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别是去掉的行和列的索引）。
步骤 2：应用代数余子式性质
对于一个 $n \times n$ 行列式，如果选择某一行的元素，分别乘以其他行的对应代数余子式，并将其和求出，那么这个和必定为零。即：
${a}_{1}1.{A}_{1}1+{a}_{1}.{a}_{1.2}+{a}_{1.3}\cdot {A}_{1.3}=0$
其中 $a_{1,j}$ 是第 1 行的元素，$A_{1,j}$ 是第 1 行的对应代数余子式。
步骤 3：代入已知条件
- 第一行的元素为：-1, 2+t, 1
- 第三行的代数余子式分别为：5, 3, 2
根据题意，我们选择第一行的元素和第三行的代数余子式相乘，并令其和为零：
$-1 \times 5 + (2+t) \times 3 + 1 \times 2 = 0$
步骤 4：展开并化简
$-5 + 3(2+t) + 2 = 0$
$-5 + 6 + 3t + 2 = 0$
$3 + 3t = 0$
$3t = -3$
$t = -1$