3.λ取何值时,下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在3.λ取何值时,下列非齐次线性方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的情况判断，涉及系数矩阵秩与增广矩阵秩的关系，以及无穷多解时通解的求解方法。

解题核心思路：

1. 行列式法：当系数矩阵行列式非零时，方程组有唯一解；
2. 秩判别法：当行列式为零时，通过比较系数矩阵和增广矩阵的秩，判断无解或无穷多解；
3. 通解结构：无穷多解时，通过行简化阶梯形矩阵确定基础解系和特解。

破题关键点：

• 计算行列式：通过行列式因式分解确定临界值$\lambda=1$和$\lambda=-2$；
• 分情况讨论：对$\lambda$的不同取值，分析秩的关系；
• 行变换化简：在无穷多解时，通过行变换求通解。

步骤1：计算系数矩阵行列式

系数矩阵为：
$A = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 1 \\1 & \lambda & 1 \\1 & 1 & \lambda\end{pmatrix}$
行列式为：
$|A| = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = \lambda^3 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2)$
结论：当$\lambda \neq 1$且$\lambda \neq -2$时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。

步骤2：分析$\lambda=1$时的情况

系数矩阵秩$r(A)=1$，增广矩阵秩$r(\overline{A})=1$，故$r(A)=r(\overline{A})<3$，方程组有无穷多解。

步骤3：分析$\lambda=-2$时的情况

系数矩阵秩$r(A)=2$，增广矩阵秩$r(\overline{A})=3$，故$r(A) \neq r(\overline{A})$，方程组无解。