题目
已知四阶 行列式 D 第三列元素分别为 1 , 3 , -2 , 2 它们对应的余子式分别为 3 , -2 , 1 , 1 则 行列式 D = ( ) a 5 b -3 c -5 d 3
已知四阶 行列式 D 第三列元素分别为 1 , 3 , -2 , 2 它们对应的余子式分别为 3 , -2 , 1 , 1 则 行列式 D = ( ) a 5 b -3 c -5 d 3
题目解答
答案
由题意知，四阶行列式 D 第三列元素分别为 1,3,-2,2 ，它们对应的余子式分别为 3,-2,1,1 ，代数余子式分别为 A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=M_{31}=3 ， A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}=2 ， A_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=M_{33}=1 ， A_{34}=(-1)^{3+4}M_{34}=-M_{34}=-1 ，根据行列式展开定理，可以得到 1 \times 3+3 \times 2-2 \times 1-2 \times 1=3+6-4=5 ，故正确答案选择 A 。
解析
步骤 1：确定代数余子式
根据题目，四阶行列式 D 第三列元素分别为 1, 3, -2, 2，它们对应的余子式分别为 3, -2, 1, 1。代数余子式 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，其中 M_{ij} 是余子式。因此，代数余子式分别为 A_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = 3，A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = 2，A_{33} = (-1)^{3+3}M_{33} = 1，A_{34} = (-1)^{3+4}M_{34} = -1。
步骤 2：应用行列式展开定理
根据行列式展开定理，行列式 D 可以通过第三列的元素和对应的代数余子式来计算。即 D = 1 \times A_{31} + 3 \times A_{32} + (-2) \times A_{33} + 2 \times A_{34}。
步骤 3：计算行列式 D
将步骤 1 中得到的代数余子式代入步骤 2 的公式中，得到 D = 1 \times 3 + 3 \times 2 + (-2) \times 1 + 2 \times (-1) = 3 + 6 - 2 - 2 = 5。
根据题目，四阶行列式 D 第三列元素分别为 1, 3, -2, 2，它们对应的余子式分别为 3, -2, 1, 1。代数余子式 A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}，其中 M_{ij} 是余子式。因此，代数余子式分别为 A_{31} = (-1)^{3+1}M_{31} = 3，A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = 2，A_{33} = (-1)^{3+3}M_{33} = 1，A_{34} = (-1)^{3+4}M_{34} = -1。
步骤 2：应用行列式展开定理
根据行列式展开定理，行列式 D 可以通过第三列的元素和对应的代数余子式来计算。即 D = 1 \times A_{31} + 3 \times A_{32} + (-2) \times A_{33} + 2 \times A_{34}。
步骤 3：计算行列式 D
将步骤 1 中得到的代数余子式代入步骤 2 的公式中，得到 D = 1 \times 3 + 3 \times 2 + (-2) \times 1 + 2 \times (-1) = 3 + 6 - 2 - 2 = 5。