[例26]已知 (dfrac (x+1)(x-1))=2f(x)-3x, 则 f(x)= __-|||-解:令 =dfrac (x+1)(x-1), 则 =dfrac (t+1)(t-1), 得到-|||-(t)=2f(dfrac (t+1)(t-1))-dfrac (3t+3)(t-1)=2[ 2f(t)-3t] -dfrac (3t+3)(t-1),-|||-从而, (t)=2t+dfrac (t+1)(t-1), 因此, (x)=2x+dfrac (x+1)(x-1).

考查要点：本题主要考查函数方程的解法，特别是通过换元法建立方程组并求解函数表达式的能力。

解题核心思路：

1. 引入中间变量：令 $t = \dfrac{x+1}{x-1}$，将原方程中的变量替换为 $t$，并解出 $x$ 用 $t$ 表示。
2. 联立方程：通过原方程和替换后的方程，建立关于 $f(t)$ 和 $f(x)$ 的方程组，消去中间变量，解出 $f(t)$ 的表达式。
3. 代数变形：通过代数运算整理方程，最终得到 $f(x)$ 的显式表达式。

破题关键点：

• 换元法的正确应用：确保变量替换后方程的等价性。
• 联立方程的消元技巧：通过代入消去中间变量，得到关于 $f(t)$ 的线性方程。

步骤1：引入中间变量
令 $t = \dfrac{x+1}{x-1}$，解得 $x = \dfrac{t+1}{t-1}$。

步骤2：建立原方程的替换形式
将原方程 $f\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = 2f(x) - 3x$ 中的 $x$ 替换为 $\dfrac{t+1}{t-1}$，得到：
$f(t) = 2f\left(\dfrac{t+1}{t-1}\right) - 3 \cdot \dfrac{t+1}{t-1}.$

步骤3：联立原方程与替换后的方程
原方程可改写为：
$f\left(\dfrac{t+1}{t-1}\right) = 2f(t) - 3t.$

步骤4：代入消元
将步骤3的结果代入步骤2的方程：
$f(t) = 2\left(2f(t) - 3t\right) - 3 \cdot \dfrac{t+1}{t-1}.$

步骤5：整理方程
展开并整理：
$f(t) = 4f(t) - 6t - \dfrac{3(t+1)}{t-1}.$
移项得：
$3f(t) = 6t + \dfrac{3(t+1)}{t-1}.$
两边除以3：
$f(t) = 2t + \dfrac{t+1}{t-1}.$

步骤6：写出最终结果
将变量 $t$ 替换回 $x$，得：
$f(x) = 2x + \dfrac{x+1}{x-1}.$