[例26]已知 (dfrac (x+1)(x-1))=2f(x)-3x, 则 f(x)= __-|||-解:令 =dfrac (x+1)(x-1), 则 =dfrac (t+1)(t-1), 得到-|||-(t)=2f(dfrac (t+1)(t-1))-dfrac (3t+3)(t-1)=2[ 2f(t)-3t] -dfrac (3t+3)(t-1),-|||-从而, (t)=2t+dfrac (t+1)(t-1), 因此, (x)=2x+dfrac (x+1)(x-1).

步骤 1：换元法
令 $t=\dfrac{x+1}{x-1}$，则 $x=\dfrac{t+1}{t-1}$。通过换元，我们可以将原函数 $f(\dfrac{x+1}{x-1})$ 转化为 $f(t)$ 的形式。

步骤 2：代入原函数
将 $x=\dfrac{t+1}{t-1}$ 代入原函数 $f(\dfrac{x+1}{x-1})=2f(x)-3x$，得到 $f(t)=2f(\dfrac{t+1}{t-1})-3\dfrac{t+1}{t-1}$。

步骤 3：解方程
由于 $f(t)=2f(\dfrac{t+1}{t-1})-3\dfrac{t+1}{t-1}$，且 $f(\dfrac{t+1}{t-1})=2f(t)-3t$，我们可以将 $f(\dfrac{t+1}{t-1})$ 用 $f(t)$ 表示，得到 $f(t)=2(2f(t)-3t)-3\dfrac{t+1}{t-1}$。化简后得到 $f(t)=4f(t)-6t-\dfrac{3t+3}{t-1}$，从而 $3f(t)=6t+\dfrac{3t+3}{t-1}$，进一步化简得到 $f(t)=2t+\dfrac{t+1}{t-1}$。

步骤 4：将 $t$ 代回 $x$
将 $t$ 代回 $x$，得到 $f(x)=2x+\dfrac{x+1}{x-1}$。