题目

求函数(x)=dfrac (2)(3)(x)^3-5(x)^2+12x-dfrac (1)(3) __-|||-__ __ __的极值，并判断是极大值和极小值。

求函数的极值，并判断是极大值和极小值。

题目解答

答案

由题意得，函数，则，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，故极小值为，极大值为。

解析

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，包括求导、求临界点、判断极值点的性质。

解题核心思路：

  1. 求导：对函数$f(x)$求导，得到$f'(x)$；
  2. 求临界点：解方程$f'(x)=0$，得到可能的极值点；
  3. 判断极值性质：通过导数在临界点左右两侧的符号变化，确定极大值或极小值；
  4. 计算极值：将临界点代入原函数，计算对应的函数值。

破题关键点：

  • 导数的正确计算：注意多项式函数的导数规则；
  • 临界点的求解：正确解二次方程$f'(x)=0$；
  • 导数符号分析：通过测试点判断导数在各区间的符号，确定极值类型。

步骤1：求导数
函数$f(x)=\dfrac{2}{3}x^3 -5x^2 +12x -\dfrac{1}{3}$的导数为：
$f'(x) = 2x^2 -10x +12$

步骤2：求临界点
解方程$f'(x)=0$：
$2x^2 -10x +12 = 0$
因式分解得：
$(2x-4)(x-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x=2,\ x=3$

步骤3：判断极值性质
将数轴分为三个区间，分析导数符号：

  • 当$x < 2$时，取测试点$x=1$，$f'(1)=4 > 0$，函数单调递增；
  • 当$2 < x < 3$时，取测试点$x=2.5$，$f'(2.5)=-0.5 < 0$，函数单调递减；
  • 当$x > 3$时，取测试点$x=4$，$f'(4)=4 > 0$，函数单调递增。

因此：

  • $x=2$是极大值点（导数由正变负）；
  • $x=3$是极小值点（导数由负变正）。

步骤4：计算极值

  • 极大值：
    $f(2) = \dfrac{2}{3}(2)^3 -5(2)^2 +12(2) -\dfrac{1}{3} = 9$
  • 极小值：
    $f(3) = \dfrac{2}{3}(3)^3 -5(3)^2 +12(3) -\dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}$