题目

实对称矩阵[4 0 0-|||-0 3 1-|||-0 1 3的对角化矩阵为(A) [4 0 0-|||-0 3 1-|||-0 1 3 (B) [4 0 0-|||-0 3 1-|||-0 1 3 , (C) [4 0 0-|||-0 3 1-|||-0 1 3 , (D) [4 0 0-|||-0 3 1-|||-0 1 3.

实对称矩阵 $\left [ {\begin{matrix} 4&0&0 \newline 0&3&1 \newline 0&1&3 \end{matrix}} \right ]$ 的对角化矩阵为

(A) $\left [ {\begin{matrix} 1&0 &0 \newline 0& 4&0 \newline 0& 0 &4 \end{matrix}} \right ]$

(B) $\left [ {\begin{matrix} 2&0 &0 \newline 0& 4&0 \newline 0& 0 &4 \end{matrix}} \right ]$ ,

(D) $\left [ {\begin{matrix} 4&0 &0 \newline 0& 4&0 \newline 0& 0 &2 \end{matrix}} \right ]$ .

题目解答

答案

解：

记 $A=\left [ {\begin{matrix} 4&0&0 \newline 0&3&1 \newline 0&1&3 \end{matrix}} \right ]$

则 $|\lambda E-A|=\left | {\begin{matrix} \lambda-4&0&0 \newline 0&\lambda-3&-1 \newline 0&-1&\lambda-3 \end{matrix}} \right |$

$=(\lambda-4)[(\lambda-3)^2-1]=(\lambda-2)(\lambda-4)^2=0$

∴该矩阵的特征值为 $\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=4$

∴其对角化矩阵为 $\left [ {\begin{matrix} 2&0 &0 \newline 0& 4&0 \newline 0& 0 &4 \end{matrix}} \right ]$ 或 $\left [ {\begin{matrix} 4&0 &0 \newline 0& 4&0 \newline 0& 0 &2 \end{matrix}} \right ]$

故本题的答案为：BD.