9.设函数y=y(x)由{}x=t^2-2t+1,e^ysin t-y+1=0=____.
题目解答
答案
-
求 $x$、$y$ 在 $t=0$ 处的值：
$x = t^2 - 2t + 1 = 1$，$y = 1$（由 $e^y \sin t - y + 1 = 0$）。 -
求 $\frac{dy}{dt}$ 在 $t=0$ 处的值：
对 $e^y \sin t - y + 1 = 0$ 求导得 $\frac{dy}{dt} = \frac{-e^y \cos t}{e^y \sin t - 1}$，代入 $t=0$ 得 $\frac{dy}{dt} = e$。 -
求 $\frac{dx}{dt}$ 在 $t=0$ 处的值：
$\frac{dx}{dt} = 2t - 2 = -2$。 -
求 $\frac{dy}{dx}$ 在 $t=0$ 处的值：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = -\frac{e}{2}$。 -
求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 在 $t=0$ 处的值：
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \cdot \frac{d^2 x}{dt^2} / \frac{dx}{dt}}{(\frac{dx}{dt})^2}$，
其中 $\frac{d^2 y}{dt^2} = 2e^2$，$\frac{d^2 x}{dt^2} = 2$，代入得 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{e^2 + 2e}{4}$。
答案：$\boxed{\frac{e^2 + 2e}{4}}$
解析
本题考查由参数方程确定的函数的二阶导数的计算。解题思路是先分别求出$x$、$y$关于$t$的一阶导数和二阶导数，再根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$求出$\frac{dy}{dx}$，最后根据二阶导数公式$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$求出$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$，并将$t = 0$代入求值。
- 求$x$、$y$在$t = 0$处的值：
- 对于$x=t^{2}-2t + 1$，将$t = 0$代入可得：$x=0^{2}-2\times0 + 1 = 1$。
- 对于$e^{y}\sin t - y + 1 = 0$，将$t = 0$代入得$e^{y}\times0 - y + 1 = 0$，即$-y + 1 = 0$，解得$y = 1$。
- 求$\frac{dy}{dt}$在$t = 0$处的值：
对$e^{y}\sin t - y + 1 = 0$两边同时对$t$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可得：
$(e^{y})^\prime\sin t + e^{y}(\sin t)^\prime - \frac{dy}{dt} = 0$
$e^{y}\frac{dy}{dt}\sin t + e^{y}\cos t - \frac{dy}{dt} = 0$
移项可得：$\frac{dy}{dt}(e^{y}\sin t - 1) = -e^{y}\cos t$
则$\frac{dy}{dt} = \frac{-e^{y}\cos t}{e^{y}\sin t - 1}$。
将$t = 0$，$y = 1$代入上式可得：$\frac{dy}{dt}\big|_{t = 0} = \frac{-e^{1}\cos 0}{e^{1}\sin 0 - 1}=\frac{-e\times1}{e\times0 - 1}=e$。 - 求$\frac{dx}{dt}$在$t = 0$处的值：
对$x=t^{2}-2t + 1$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime = nX^{n - 1}$可得：$\frac{dx}{dt} = 2t - 2$。
将$t = 0$代入可得：$\frac{dx}{dt}\big|_{t = 0} = 2\times0 - 2 = -2$。 - 求$\frac{dy}{dx}$在$t = 0$处的值：
根据参数方程求导公式$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，将$\frac{dy}{dt}\big|_{t = 0} = e$，$\frac{dx}{dt}\big|_{t = 0} = -2$代入可得：$\frac{dy}{dx}\big|_{t = 0} = \frac{e}{-2}=-\frac{e}{2}$。 - 求$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$在$t = 0$处的值：
根据二阶导数公式$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})}{\frac{dx}{dt}}$，先求$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})$：
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，对其求导，根据除法求导法则$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$可得：
$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})=\frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\frac{dx}{dt})^2}$
则$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\frac{dx}{dt})^2}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\frac{dx}{dt})^3}$。- 求$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$：
对$\frac{dy}{dt} = \frac{-e^{y}\cos t}{e^{y}\sin t - 1}$求导，根据除法求导法则可得：
$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{(-e^{y}\frac{dy}{dt}\cos t + e^{y}\sin t)(e^{y}\sin t - 1)+e^{y}\cos t(e^{y}\frac{dy}{dt}\sin t + e^{y}\cos t)}{(e^{y}\sin t - 1)^2}$
将$t = 0$，$y = 1$，$\frac{dy}{dt}\big|_{t = 0} = e$代入上式可得：
$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\big|_{t = 0}=\frac{(-e^{1}\times e\times\cos 0 + e^{1}\sin 0)(e^{1}\sin 0 - 1)+e^{1}\cos 0(e^{1}\times e\times\sin 0 + e^{1}\cos 0)}{(e^{1}\sin 0 - 1)^2}$
$=\frac{(-e^{2}\times1 + 0)(0 - 1)+e\times1(0 + e\times1)}{(-1)^2}=\frac{e^{2}+e^{2}}{1}=2e^{2}$。 - 求$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$：
对$\frac{dx}{dt} = 2t - 2$求导可得：$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = 2$。
将$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\big|_{t = 0} = 2e^{2}$，$\frac{dy}{dt}\big|_{t = 0} = e$，$\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = 2$，$\frac{dx}{dt}\big|_{t = 0} = -2$代入$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}{(\frac{dx}{dt})^3}$可得：
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\big|_{t = 0}=\frac{2e^{2}\times(-2)-e\times2}{(-2)^3}=\frac{-4e^{2}-2e}{-8}=\frac{e^{2}+2e}{4}$。
- 求$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$：