5.证明数列 √6, sqrt (6+sqrt {6)}, √(6+√6+√6),······ 的极限存在并求之.[答案:3]

考查要点：本题主要考查递归数列极限的存在性证明及求解方法，涉及单调有界定理的应用和不动点方程的求解。

解题核心思路：

1. 证明数列单调递增：通过数学归纳法，验证每一项均小于下一项。
2. 证明数列有上界：通过数学归纳法，证明所有项均不超过某个固定值（如3）。
3. 利用极限定义求解：假设极限存在，代入递推关系式解方程得到极限值。

破题关键点：

• 递推关系：数列满足$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$。
• 单调性与有界性：需严格证明数列单调递增且有上界，从而保证极限存在。

证明极限存在

步骤1：证明数列单调递增

数学归纳法：

1. 基础情形：
   $a_1 = \sqrt{6} \approx 2.449$，
   $a_2 = \sqrt{6 + \sqrt{6}} \approx 2.907$，
   显然$a_1 < a_2$。

2. 归纳假设：
   假设$a_k < a_{k+1}$成立。

3. 递推关系：
   $a_{k+2} = \sqrt{6 + a_{k+1}}$，
   由于$a_k < a_{k+1}$，则$6 + a_k < 6 + a_{k+1}$，
   因此$\sqrt{6 + a_k} < \sqrt{6 + a_{k+1}}$，即$a_{k+1} < a_{k+2}$。

综上，数列$\{a_n\}$单调递增。

步骤2：证明数列有上界

数学归纳法：

1. 基础情形：
   $a_1 = \sqrt{6} < 3$。

2. 归纳假设：
   假设$a_k < 3$。

3. 递推关系：
   $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$。

综上，数列$\{a_n\}$有上界3。

结论：
根据单调有界定理，数列$\{a_n\}$极限存在。

求极限值

设极限为$L$，由递推关系$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$，两边取极限得：
$L = \sqrt{6 + L}$
两边平方得：
$L^2 = 6 + L \quad \Rightarrow \quad L^2 - L - 6 = 0$
解得：
$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$
即$L = 3$或$L = -2$。
由于数列各项均为正数，故$L = 3$。