题目
9.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值:-|||-(1) =(x)^2-(y)^2, (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 4} ;-|||-(2) =(x)^2-xy+(y)^2, (x,y)||x|+|y|leqslant 1 ;-|||-(3) =sin x+sin y-sin (x+y), (x,y)|xgeqslant 0,ygeqslant 0,x+yleqslant 2pi .
题目解答
答案
解析
(1) $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 在 $|(x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4|$ 范围内的最大值与最小值
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=-2y$。令偏导数等于零，得到 $x=0$ 和 $y=0$。因此，函数在原点 $(0,0)$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 的边界上，即 $x^{2}+y^{2}=4$，函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 可以表示为 $z=4-2y^{2}$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=4$，最小值为 $z=-4$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 内的最大值为 $z=4$，最小值为 $z=-4$。
(2) $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 范围内的最大值与最小值
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=2x-y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=-x+2y$。令偏导数等于零，得到 $x=y=0$。因此，函数在原点 $(0,0)$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 的边界上，函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 可以表示为 $z=1$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=1$，最小值为 $z=0$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 内的最大值为 $z=1$，最小值为 $z=0$。
(3) $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 范围内的最大值与最小值
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=\cos x-\cos (x+y)$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\cos y-\cos (x+y)$。令偏导数等于零，得到 $x=y=\frac{\pi}{3}$。因此，函数在点 $(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 的边界上，函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 可以表示为 $z=0$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，最小值为 $z=0$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 内的最大值为 $z=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，最小值为 $z=0$。
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=2x$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=-2y$。令偏导数等于零，得到 $x=0$ 和 $y=0$。因此，函数在原点 $(0,0)$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 的边界上，即 $x^{2}+y^{2}=4$，函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 可以表示为 $z=4-2y^{2}$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=4$，最小值为 $z=-4$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z={x}^{2}-{y}^{2}$ 在圆域 $x^{2}+y^{2}\leqslant 4$ 内的最大值为 $z=4$，最小值为 $z=-4$。
(2) $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 范围内的最大值与最小值
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=2x-y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=-x+2y$。令偏导数等于零，得到 $x=y=0$。因此，函数在原点 $(0,0)$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 的边界上，函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 可以表示为 $z=1$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=1$，最小值为 $z=0$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z={x}^{2}-xy+{y}^{2}$ 在区域 $\{ (x,y)||x|+|y|\leqslant 1\}$ 内的最大值为 $z=1$，最小值为 $z=0$。
(3) $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 范围内的最大值与最小值
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 内定义。
步骤 2：求解函数的极值
对函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}=\cos x-\cos (x+y)$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\cos y-\cos (x+y)$。令偏导数等于零，得到 $x=y=\frac{\pi}{3}$。因此，函数在点 $(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3})$ 处取得极值。
步骤 3：求解函数在边界上的值
在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 的边界上，函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 可以表示为 $z=0$。因此，函数在边界上的最大值为 $z=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，最小值为 $z=0$。
步骤 4：比较极值和边界值
比较极值和边界值，得到函数 $z=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant 2\pi \}$ 内的最大值为 $z=\frac{3}{2}\sqrt{3}$，最小值为 $z=0$。