题目
3.单选题-|||-二元函数极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1-cos sqrt {{x)^2+(y)^2}}({e)^2+(y)^2-1}-dfrac ({x)^3}({x)^2+(y)^2})=()-|||-A 0-|||-B dfrac (1)(2) .-|||-C)不存在-|||-D)以上答案都不对
题目解答
答案
B. $\dfrac {1}{2}$ .
解析
步骤 1：化简极限表达式
首先，我们注意到题目中的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}{{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}-1}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。这里，我们注意到分子中的 $1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 可以利用三角函数的近似公式 $1-\cos z \approx \dfrac{z^2}{2}$ 当 $z$ 接近于0时。同时，分母中的 ${e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}-1$ 可以利用指数函数的近似公式 ${e}^{z}-1 \approx z$ 当 $z$ 接近于0时。因此，我们可以将原极限表达式化简为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\dfrac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}{{x}^{2}+{y}^{2}}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。
步骤 2：进一步化简
接下来，我们继续化简上一步得到的表达式。由于 ${x}^{2}+{y}^{2}$ 在分母中出现，我们可以将其约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。注意到当 $x$ 接近于0时，$\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 也接近于0，因此，极限表达式进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2})$。
步骤 3：计算极限
最后，我们计算得到的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2})$，显然，这个极限值为 $\dfrac {1}{2}$。
首先，我们注意到题目中的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}}{{e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}-1}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。这里，我们注意到分子中的 $1-\cos \sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 可以利用三角函数的近似公式 $1-\cos z \approx \dfrac{z^2}{2}$ 当 $z$ 接近于0时。同时，分母中的 ${e}^{{x}^{2}+{y}^{2}}-1$ 可以利用指数函数的近似公式 ${e}^{z}-1 \approx z$ 当 $z$ 接近于0时。因此，我们可以将原极限表达式化简为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {\dfrac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})}{{x}^{2}+{y}^{2}}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。
步骤 2：进一步化简
接下来，我们继续化简上一步得到的表达式。由于 ${x}^{2}+{y}^{2}$ 在分母中出现，我们可以将其约去，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2}-\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}})$。注意到当 $x$ 接近于0时，$\dfrac {{x}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 也接近于0，因此，极限表达式进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2})$。
步骤 3：计算极限
最后，我们计算得到的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}(\dfrac {1}{2})$，显然，这个极限值为 $\dfrac {1}{2}$。