题目
设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布,其概率-|||-密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5, xgt 0 0, .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算顾客等待时间超过10分钟的概率
根据题目中给出的概率密度函数 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5}{e}^{-x/5},\quad x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ ，我们需要计算顾客等待时间超过10分钟的概率，即 $P(X > 10)$。这可以通过对概率密度函数从10到正无穷进行积分来计算。
$$
P(X > 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} dx
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
P(X > 10) = \left[-e^{-x/5}\right]_{10}^{\infty} = e^{-10/5} = e^{-2}
$$
步骤 3：确定Y的分布律
顾客一个月内到银行5次，每次等待时间超过10分钟的概率为 $e^{-2}$，因此Y（一个月内未等到服务而离开窗口的次数）服从二项分布，参数为n=5和p=$e^{-2}$。Y的分布律为：
$$
P(Y=k) = C_{5}^{k} (e^{-2})^{k} (1-e^{-2})^{5-k}, \quad k=0,1,2,3,4,5
$$
步骤 4：计算 $P\{ Y\geqslant 1\}$
$P\{ Y\geqslant 1\}$ 表示一个月内至少有一次未等到服务而离开窗口的概率，可以通过计算 $P\{ Y=0\}$ 的补集来得到。
$$
P\{ Y\geqslant 1\} = 1 - P\{ Y=0\} = 1 - (1-e^{-2})^{5}
$$
根据题目中给出的概率密度函数 ${f}_{x}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{5}{e}^{-x/5},\quad x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ ，我们需要计算顾客等待时间超过10分钟的概率，即 $P(X > 10)$。这可以通过对概率密度函数从10到正无穷进行积分来计算。
$$
P(X > 10) = \int_{10}^{\infty} \frac{1}{5} e^{-x/5} dx
$$
步骤 2：计算积分
计算上述积分，我们得到：
$$
P(X > 10) = \left[-e^{-x/5}\right]_{10}^{\infty} = e^{-10/5} = e^{-2}
$$
步骤 3：确定Y的分布律
顾客一个月内到银行5次，每次等待时间超过10分钟的概率为 $e^{-2}$，因此Y（一个月内未等到服务而离开窗口的次数）服从二项分布，参数为n=5和p=$e^{-2}$。Y的分布律为：
$$
P(Y=k) = C_{5}^{k} (e^{-2})^{k} (1-e^{-2})^{5-k}, \quad k=0,1,2,3,4,5
$$
步骤 4：计算 $P\{ Y\geqslant 1\}$
$P\{ Y\geqslant 1\}$ 表示一个月内至少有一次未等到服务而离开窗口的概率，可以通过计算 $P\{ Y=0\}$ 的补集来得到。
$$
P\{ Y\geqslant 1\} = 1 - P\{ Y=0\} = 1 - (1-e^{-2})^{5}
$$