题目

2,设A是三阶实对称矩阵,若对任意的三维列向量X,有 ^TAX=0, 则 () .-|||-(A) |A|=0 (B) |A|gt 0-|||-(C) |A|lt 0 (D)以上都不对

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、二次型及其规范形，以及矩阵行列式的性质。

解题核心思路：
题目中给出对任意三维列向量$X$，有$X^TAX=0$，这表明二次型$f=X^TAX$恒为零。根据二次型的理论，若二次型恒为零，则矩阵$A$必须为零矩阵。进一步结合实对称矩阵的正交对角化性质，可推出$A$的所有特征值均为零，从而$|A|=0$。

破题关键点：

  1. 二次型恒为零的条件：若二次型$f=X^TAX$对所有$X$成立，则$A$必须为零矩阵。
  2. 实对称矩阵的特征值性质：实对称矩阵可正交对角化，且特征值均为实数。
  3. 行列式与特征值的关系：矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。

步骤1：二次型恒为零的条件
由题意，对任意三维列向量$X$，有$X^TAX=0$。这表明二次型$f=X^TAX$恒为零。

步骤2：二次型的规范形
通过正交变换$X=QY$（其中$Q$为正交矩阵），二次型可化为规范形：
$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2,$
其中$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$为$A$的特征值。

步骤3：特征值的确定
取特定向量$Y$代入规范形：

  • 取$Y=(1,0,0)^T$，则$f=\lambda_1=0$；
  • 取$Y=(0,1,0)^T$，则$f=\lambda_2=0$；
  • 取$Y=(0,0,1)^T$，则$f=\lambda_3=0$。
    因此，$A$的所有特征值均为零。

步骤4：矩阵$A$的性质
由于$A$是实对称矩阵且所有特征值为零，故$A$可正交对角化为零矩阵，即$A=0$。

步骤5：行列式的计算
零矩阵的行列式为$0$，即$|A|=0$。