五、(2001年，数学二) lim_(x arrow 1) (sqrt(3-x)-sqrt(1+x))/(x^2)+x-2=____.
题目解答
答案
将原式分子有理化，得
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to 1} \frac{(3-x) - (1+x)}{(x^2 + x - 2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
化简分子得 $2 - 2x = -2(x - 1)$，分母可因式分解为 $(x - 1)(x + 2)$，故
$\lim_{x \to 1} \frac{-2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} = \lim_{x \to 1} \frac{-2}{(x + 2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
代入 $x = 1$，得
$\frac{-2}{(1 + 2)(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{-2}{6\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{6}.$
答案： $\boxed{-\frac{\sqrt{2}}{6}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理0/0型不定式的技巧，涉及分子有理化和因式分解的应用。
解题核心思路：
当直接代入$x=1$导致分子分母均为0时，需通过变形消除不定式。分子有理化可将根号差转化为多项式，结合分母因式分解，约分后化简求极限。
破题关键点：
- 分子有理化：通过乘以共轭表达式消去根号差。
- 因式分解：将分母$x^2+x-2$分解为$(x-1)(x+2)$，便于约分。
- 代入求值：约分后直接代入$x=1$计算最终结果。
步骤1：分子有理化
原式分子为$\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}$，乘以共轭$\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x}$：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x}}{x^2 + x - 2} &= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{3-x} - \sqrt{1+x})(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}{(x^2 + x - 2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})} \\&= \lim_{x \to 1} \frac{(3-x) - (1+x)}{(x^2 + x - 2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.\end{aligned}$
步骤2：化简分子与分母
分子化简为：
$(3-x) - (1+x) = 3 - x - 1 - x = 2 - 2x = -2(x-1).$
分母因式分解：
$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2).$
步骤3：约分并代入求值
约去公因式$(x-1)$后，表达式变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{-2}{(x+2)(\sqrt{3-x} + \sqrt{1+x})}.$
代入$x=1$：
$\frac{-2}{(1+2)(\sqrt{2} + \sqrt{2})} = \frac{-2}{3 \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-2}{6\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{6}.$