题目
已知F1，F2为椭圆C：((x)^2)/(16)+((y)^2)/(4)=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ____ ．
已知F1，F2为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ____ ．
题目解答
答案
解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，
所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||=m+n=2a=8，
所以m2+2mn+n2=64，
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4（a2-b2）=48，
即m2+n2=48，
所以mn=8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．
故答案为：8．
所以四边形PF1QF2为矩形，
设|PF1|=m，|PF2|=n，
由椭圆的定义可得||PF1|+|PF2||=m+n=2a=8，
所以m2+2mn+n2=64，
因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4（a2-b2）=48，
即m2+n2=48，
所以mn=8，
所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=8．
故答案为：8．
解析
考查要点：本题主要考查椭圆的性质、对称点的几何关系以及矩形面积的计算。
解题思路：
- 对称性分析：利用P、Q关于原点对称的条件，结合焦点坐标，确定四边形PF₁QF₂的几何形状。
- 椭圆定义应用：通过椭圆上点到两焦点的距离和为2a，建立方程。
- 勾股定理应用：结合矩形性质，将几何条件转化为代数方程，求解面积。
破题关键：
- 四边形为矩形：由PQ与F₁F₂长度相等且互相平分，推导出四边形为矩形。
- 联立方程求面积：利用椭圆定义和勾股定理联立方程，求出两邻边乘积即面积。
步骤1：确定椭圆参数与焦点位置
椭圆方程为$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$，可知长半轴$a=4$，短半轴$b=2$，焦距$c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，焦点$F_1(-2\sqrt{3}, 0)$，$F_2(2\sqrt{3}, 0)$，故$|F_1F_2| = 4\sqrt{3}$。
步骤2：分析四边形形状
- P、Q关于原点对称，故$Q(-x_P, -y_P)$。
- $|PQ| = |F_1F_2| = 4\sqrt{3}$，且PQ与F₁F₂均以原点为中点，说明四边形PF₁QF₂为矩形（对角线相等且互相平分）。
步骤3：利用椭圆定义与勾股定理
设$|PF_1| = m$，$|PF_2| = n$，根据椭圆定义：
$m + n = 2a = 8 \quad \Rightarrow \quad m^2 + 2mn + n^2 = 64.$
由矩形性质，$m^2 + n^2 = |F_1F_2|^2 = (4\sqrt{3})^2 = 48$。
联立方程得：
$64 - 2mn = 48 \quad \Rightarrow \quad mn = 8.$
因此，矩形面积为$mn = 8$。