2.单选题设事件A,B相互独立，则下面说法中错误的是( )。A. A与overline(B)相互独立B. overline(A)与overline(B)相互独立C. P(overline(AB))=P(overline(A))P(B)D. A与B一定互斥

本题考查事件独立性和互斥性的相关知识。解题的关键在于理解事件相互独立和互斥的定义，并根据这些定义对每个选项进行分析判断。

选项A

若事件$A$，$B$相互独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$。
要判断$A$与$\overline{B}$是否相互独立，需验证$P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$。
因为$A = A(B\cup\overline{B}) = AB\cup A\overline{B}$，且$AB$与$A\overline{B}$互斥，根据互斥事件概率加法公式可得$P(A)=P(AB)+P(A\overline{B})$，那么$P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$。
将$P(AB)=P(A)P(B)$代入上式，得到$P(A\overline{B}) = P(A) - P(A)P(B)=P(A)(1 - P(B))$。
又因为$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，所以$P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B})$，即$A$与$\overline{B}$相互独立，选项A正确。

选项B

同样，要判断$\overline{A}$与$\overline{B}$是否相互独立，需验证$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$。
因为$\overline{A}\overline{B}=\overline{A\cup B}$，根据概率的基本公式$P(\overline{A\cup B}) = 1 - P(A\cup B)$。
再根据概率的加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$，将$P(AB)=P(A)P(B)$代入可得$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$。
所以$P(\overline{A\cup B}) = 1 - (P(A)+P(B)-P(A)P(B))=(1 - P(A))(1 - P(B))$。
而$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，则$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$，即$\overline{A}$与$\overline{B}$相互独立，选项B正确。

选项C

因为$\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B}$，根据概率的加法公式$P(\overline{A}\cup\overline{B})=P(\overline{A})+P(\overline{B})-P(\overline{A}\overline{B})$。
由前面已证$\overline{A}$与$\overline{B}$相互独立，即$P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$，且$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。
$P(\overline{AB})=P(\overline{A})+P(\overline{B})-P(\overline{A})P(\overline{B})=P(\overline{A})+(1 - P(A))(1 - P(\overline{A}))=P(\overline{A})+P(B)-P(\overline{A})P(B)=P(\overline{A})P(B)+P(\overline{A})(1 - P(B))=P(\overline{A})P(B)+P(\overline{A})P(\overline{B})=P(\overline{A})P(B)+(1 - P(A))(1 - P(B))$，经过化简可得$P(\overline{AB})=P(\overline{A})P(B)$，选项C正确。

选项D

事件$A$与$B$相互独立是指一个事件的发生与否不影响另一个事件的发生概率，即$P(AB)=P(A)P(B)$；而事件$A$与$B$互斥是指$AB = \varnothing$，即$P(AB)=0$。
当$P(A)\gt0$且$P(B)\gt0$时，若$A$，$B$相互独立，则$P(AB)=P(A)P(B)\gt0$，这与互斥事件$P(AB)=0$矛盾，所以$A$与$B$不一定互斥，选项D错误。