余数问题余数问题可以看作整除问题的一类变式,寻求满足条件的数字实际上等同于解决满足各种限制条件的整除问题,此类问题对大家的要求主要是能够迅速做出准确判断。[例题1]有一个数,除以3余数是2,除以4余数是1。问这个数除以12余数是几?( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. [例题解析]依照题干条件,可以取得满足此条件的最小整数解为5,5除以12余5。故应选择B选项。 F. 这里请注意一个问题,3和4的最小公倍数是12,那么每个数除以3余数、除以4余数情况,每12个数就是一次循环。也即是说,任意一个数加上n倍的12,其除以3余数、除以4余数情况,都是一样的。 G. [例题2](2010年黑龙江省第44题)一个小于100的整数与5的差是4的倍数,与5的和是7的倍数,这个数最大是多少?( ) 85 89 97 93 [例题解析]这道题可用代入试算法,因为要找最大的数,所以可从选项中从大往小试算,97+5=102,无法被7整除,排除C项。93+5=98,可以被7整除;93-5=88,可以被4整除,所以答案为D项。 [例题3](08广西第11题)参加阅兵式的官兵排成一个方阵,最外层的人数是80人,问这个方阵共有官兵多少人( ) 441 400 361 386 [例题解析]在N排方阵中,最外排一定有4N-4个人,(4N-4表示最外排每边人数×4-每顶点重复计算的四个人)。则有4N-4=80,解得N=21 21排的方阵,共有212=441人。 选项。 [例题4](09四川省公考第13题)学校给一批新入校的同学分宿舍,若每个房间住7人,则6人没有床位,若每个房间住8人,则空出3个房间,新同学人数是() 188 194 206 216 [例题解析]设共有x个房间那么可以得出: 7x+6=8(x-3) 所以x=30也即新同学人数为216人 [例题5] (2006年国家考试一卷第50题) 一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有( )。 5个 6个 7个 8个 [例题解析]9×5×4=180,即满足条件的三位数每增加或减少180,同样满足条件,从100到999这900个三位数中,符合条件的应该为900/180=5个,为187,367,547,727,907。 [重点提示]每隔这三个数的最小公倍数,都会有一个满足条件的数 [例题6](2005浙江第13题)自然数P满足下列条件:P除以10的余数为9,P除以9的余数为8,P除以8的余数为7。如果:100<P<1000,则这样的P有几个? 不存在 1个 2个 3个 [例题解析]与上题解法类似,5×9×8=360,从100到1000内符合条件的有两个,为359、719 [例题7](2010广东省第8题)有一些信件,把它们平均分成三份后还剩2封,将其中两份平均三等分还多出2封,问这些信件至少有多少封() 20 26 23 29 [例题解析]设这些信共有x封,最后毎份为a封 [2(x-2)/3-2]/3=a x均为正整数) 只能取偶数 =2,x=14;a=4,x=23 [例题8]韩信点兵:汉高祖刘邦曾问大将韩信:我有一个小小的问题向将军请教, “每三人站成一排。”队站好后,小队长进来报告:“最后一排只有二人。”“刘邦又传令:“每五人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有三人。”刘邦再传令:“每七人站成一排。”小队长报告:“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信:“敢问将军,这队士兵有多少人?” 20 23 31 32 [例题解析]第一次和第三次最后都剩下两人,说明这队士兵的人数同时为3和7的整数倍余2,即可设该小队人数为21a+2,同时根据每5个人站一排最后一排有三个人又可设该小队人数为5b+3,21a+2=5b+3即21a=5b+1因为a,b都是整数。解得a=1,b=4,士兵人数为23人。 [例题9](2011国考第80题)一个班的学生排队,如果排成3人一排的队列,则比2人一排的队列少8排;如果排成4人一排的队列,则比3人一排的队列少5排,这个班的学生如果按5人一排来排队的话,队列有多少排? 9 10 11 12 [例题解析] 方法一: X排,最后一排少a人,a可以是1或者0, X-8排,最后一排少b人,b可以是1、2、0, X-8-5排,最后一排少c人,c可以是1、2、3、0. X-a=3(X-8)-b=4(X-13)-c 整理消掉X得:2b=4+a+c c只能等于0. 所以2人一排的队列有26排,共计52人,5人一排来排队的话,队列有11排。 方法二: 由于“排成3人一排的队列,比2人一排的队列少8排”则8排会减少15人或16人或17人。若减少15人,则总人数有可能为15排45人或者16排47人两种情况”;若减少16人,则总人数有可能为16排48人和17排50人两种情况;若减少17人,则总人数只有18排52人一种情况。 将上述几种可能的人数分别被4整除,可知几种情况下,站满的排数分别为11,11,12,12,13,实际排数分别为12,12,12,13,13,只有最后一种情况符合条件,所以一共是52人,5人一排的话,一共11排。