题目
8 填空 (10分) 向量组alpha_(1)=(1,1,2,-2),alpha_(2)=(1,3,-x,-2x),alpha_(3)=(1,-1,6,0)的秩为2，则x=（）.
8 填空 (10分) 向量组$\alpha_{1}=(1,1,2,-2),\alpha_{2}=(1,3,-x,-2x),\alpha_{3}=(1,-1,6,0)$的秩为2，则x=（）.
题目解答
答案
将向量组构成矩阵 $A$，并进行初等行变换：
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 \\
1 & 3 & -x & -2x \\
1 & -1 & 6 & 0
\end{pmatrix}
\]
消去第一列后得：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 2 & -x-2 & -2x+2 \\
0 & -2 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\]
再消去第二列：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -2 \\
0 & 2 & -x-2 & -2x+2 \\
0 & 0 & 2-x & -2x+4
\end{pmatrix}
\]
为使秩为 2，第三行须全为零，即：
\[
\begin{cases}
2 - x = 0 \\
-2x + 4 = 0
\end{cases}
\]
解得 $x = 2$。
**答案：** $\boxed{2}$
解析
本题考察向量组的秩与矩阵初等行变换的关系。向量组的秩等于其构成的矩阵经过初等行变换后非零行的行数，要使向量组秩为2，则变换后的矩阵需仅有2个非零行，即第三行必须全为零。
步骤1：构造矩阵并作初等行变换
将向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$作为行向量构成矩阵$A$：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -x & -2x \\ 1 & -1 & 6 & 0 \end{pmatrix}$
第一步：消去第一列（第二、三行减去第一行）：
- 第二行：$(1-1,3-1,-x-2,-2x-(-2))=(0,2,-x-2,-2x+2)$
- 第三行：$(1-1,-1-1,6-2,0-(-2))=(0,-2,4,2)$
得矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -x-2 & -2x+2 \\ 0 & -2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$
第二步：消去第二列（第三行加上第二行）：
- 第三行：$(0+0,-2+2,4+(-x-2),2+(-2x+2))=(0,0,2-x,-2x+4)$
得矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -x-2 & -2x+2 \\ 0 & 0 & 2-x & -2x+4 \end{pmatrix}$
步骤2：令第三行全为零
要使矩阵秩为2，第三行必须全为零，即：
$\begin{cases} 2 - x = 0 \\ -2x + 4 = 0 \end{cases}$
解得$x=2$。