题目
平面2x+2y+z=1被柱面2x+2y+z=1所截部分的面积为___.
平面
被柱面
所截部分的面积为___.
题目解答
答案
利用第一类曲面积分求该平面部分
的面积：
.
将平面部分投影至xoy平面，则投影区域
为椭圆
对于平面，根据公式
∴
.
∴平面被柱面所截部分的面积为
.
解析
步骤 1：确定投影区域
将平面2x+2y+z=1投影到xoy平面上，得到的投影区域为${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+4{y}^{2}\leqslant 4\} =\{ (x,y)|\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\leqslant 1\} $，这是一个椭圆区域，其中a=2，b=1。
步骤 2：计算曲面面积
根据第一类曲面积分的公式，曲面面积I= 1dS，其中dS为曲面微元面积。对于平面2x+2y+z=1，根据公式dS=$\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中${z_x}=-2$，${z_y}=-2$，因此dS=$\sqrt{1+(-2)^2+(-2)^2}dxdy=\sqrt{9}dxdy=3dxdy$。
步骤 3：计算积分
将dS代入曲面面积公式，得到I= 1dS= $\{ 3dxdy=3$ $\int dxdy$。由于投影区域${D}_{xy}$是一个椭圆区域，其面积为$S_{{D}_{xy}}=\pi ab=\pi \times 2\times 1=2\pi$，因此I=3$S_{{D}_{xy}}=3\times 2\pi=6\pi$。
将平面2x+2y+z=1投影到xoy平面上，得到的投影区域为${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+4{y}^{2}\leqslant 4\} =\{ (x,y)|\dfrac {{x}^{2}}{4}+{y}^{2}\leqslant 1\} $，这是一个椭圆区域，其中a=2，b=1。
步骤 2：计算曲面面积
根据第一类曲面积分的公式，曲面面积I= 1dS，其中dS为曲面微元面积。对于平面2x+2y+z=1，根据公式dS=$\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中${z_x}=-2$，${z_y}=-2$，因此dS=$\sqrt{1+(-2)^2+(-2)^2}dxdy=\sqrt{9}dxdy=3dxdy$。
步骤 3：计算积分
将dS代入曲面面积公式，得到I= 1dS= $\{ 3dxdy=3$ $\int dxdy$。由于投影区域${D}_{xy}$是一个椭圆区域，其面积为$S_{{D}_{xy}}=\pi ab=\pi \times 2\times 1=2\pi$，因此I=3$S_{{D}_{xy}}=3\times 2\pi=6\pi$。