题目
设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 f(x,y)={2−x−y, 0<x<1,0<y<1 0, 其他. (1)求 P(X>2Y) ； (2)求 Z=X+Y 的概率密度 fZ(Z).
设二维随机变量
(1)求
(2)求
题目解答
答案
（I）P{X＞2Y}=
f(x，y)dxdy=
dy
(2−x−y)dx=
．
（II） 先求Z的分布函数：
F Z（z）=P（X+Y≤z）=
f(x，y)dxdy，
当z＜0时，F Z（z）=0；
当0≤z＜1时，F Z（z）=
dy
(2−x−y)dx=
z2−
z3；
当1≤z＜2时，
F Z（z）=1-
f(x，y)dxdy=1-
dy
(2−x−y)dx=1-
（2-z）
3；
当z≥2时，F Z（z）=1．
故Z=X+Y的概率密度为
f Z（z）=F Z′（z）=
．
| ∬ |
| x＞2y |
| ∫ |
0
|
| ∫ |
1
2y
|
| 7 |
| 24 |
（II） 先求Z的分布函数：
F Z（z）=P（X+Y≤z）=
| ∬ |
| x+y≤z |
当z＜0时，F Z（z）=0；
当0≤z＜1时，F Z（z）=
| ∫ |
z
0
|
| ∫ |
z−y
0
|
| 1 |
| 3 |
当1≤z＜2时，
F Z（z）=1-
| ∬ |
| D1 |
| ∫ |
1
z−1
|
| ∫ |
1
z−y
|
| 1 |
| 3 |
当z≥2时，F Z（z）=1．
故Z=X+Y的概率密度为
f Z（z）=F Z′（z）=
|
|
|
解析
步骤 1：计算 P(X>2Y)
为了计算 P(X>2Y)，我们需要在给定的概率密度函数 f(x,y) 的定义域内，对满足条件 X>2Y 的区域进行积分。定义域为 02Y 的部分，然后对这部分区域进行积分。
步骤 2：确定积分区域
在定义域内，X>2Y 的区域是 y 轴从 0 到 1/2，x 轴从 2y 到 1 的部分。因此，我们需要对 y 从 0 到 1/2 进行积分，对 x 从 2y 到 1 进行积分。
步骤 3：计算积分
根据步骤 2 确定的积分区域，我们可以计算 P(X>2Y) 的值。具体来说，我们需要计算以下积分：
\[ P(X>2Y) = \int_{0}^{1/2} \int_{2y}^{1} (2-x-y) \, dx \, dy \]
步骤 4：计算 Z=X+Y 的概率密度 fZ(Z)
为了计算 Z=X+Y 的概率密度 fZ(Z)，我们需要先求出 Z 的分布函数 FZ(z)，然后对 FZ(z) 求导得到 fZ(Z)。FZ(z) 的定义为 FZ(z) = P(X+Y≤z)，我们需要在定义域内对满足条件 X+Y≤z 的区域进行积分。根据 z 的不同取值，积分区域会有所不同，因此我们需要分段考虑。
步骤 5：确定积分区域
当 z<0 时，FZ(z) = 0；当 0≤z<1 时，积分区域为 y 轴从 0 到 z，x 轴从 0 到 z-y；当 1≤z<2 时，积分区域为 y 轴从 z-1 到 1，x 轴从 0 到 1；当 z≥2 时，FZ(z) = 1。
步骤 6：计算积分
根据步骤 5 确定的积分区域，我们可以计算 FZ(z) 的值。具体来说，我们需要计算以下积分：
\[ FZ(z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{z-y} (2-x-y) \, dx \, dy \quad (0≤z<1) \]
\[ FZ(z) = 1 - \int_{z-1}^{1} \int_{0}^{1} (2-x-y) \, dx \, dy \quad (1≤z<2) \]
步骤 7：求导得到 fZ(Z)
根据步骤 6 计算得到的 FZ(z)，我们可以对 FZ(z) 求导得到 fZ(Z)。具体来说，我们需要对 FZ(z) 在不同的 z 的取值范围内求导。
为了计算 P(X>2Y)，我们需要在给定的概率密度函数 f(x,y) 的定义域内，对满足条件 X>2Y 的区域进行积分。定义域为 0
步骤 2：确定积分区域
在定义域内，X>2Y 的区域是 y 轴从 0 到 1/2，x 轴从 2y 到 1 的部分。因此，我们需要对 y 从 0 到 1/2 进行积分，对 x 从 2y 到 1 进行积分。
步骤 3：计算积分
根据步骤 2 确定的积分区域，我们可以计算 P(X>2Y) 的值。具体来说，我们需要计算以下积分：
\[ P(X>2Y) = \int_{0}^{1/2} \int_{2y}^{1} (2-x-y) \, dx \, dy \]
步骤 4：计算 Z=X+Y 的概率密度 fZ(Z)
为了计算 Z=X+Y 的概率密度 fZ(Z)，我们需要先求出 Z 的分布函数 FZ(z)，然后对 FZ(z) 求导得到 fZ(Z)。FZ(z) 的定义为 FZ(z) = P(X+Y≤z)，我们需要在定义域内对满足条件 X+Y≤z 的区域进行积分。根据 z 的不同取值，积分区域会有所不同，因此我们需要分段考虑。
步骤 5：确定积分区域
当 z<0 时，FZ(z) = 0；当 0≤z<1 时，积分区域为 y 轴从 0 到 z，x 轴从 0 到 z-y；当 1≤z<2 时，积分区域为 y 轴从 z-1 到 1，x 轴从 0 到 1；当 z≥2 时，FZ(z) = 1。
步骤 6：计算积分
根据步骤 5 确定的积分区域，我们可以计算 FZ(z) 的值。具体来说，我们需要计算以下积分：
\[ FZ(z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{z-y} (2-x-y) \, dx \, dy \quad (0≤z<1) \]
\[ FZ(z) = 1 - \int_{z-1}^{1} \int_{0}^{1} (2-x-y) \, dx \, dy \quad (1≤z<2) \]
步骤 7：求导得到 fZ(Z)
根据步骤 6 计算得到的 FZ(z)，我们可以对 FZ(z) 求导得到 fZ(Z)。具体来说，我们需要对 FZ(z) 在不同的 z 的取值范围内求导。