题目
若 ((y^2 + 2xy + ax^2)dx - (x^2 + 2xy + by^2)dy)/((x^2 + y^2)^2) (x^2 + y^2 neq 0)是某二元函数 u = (x, y) 的全微分，则 a, b 为 ().A. a = 1, b = 1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = -1D. a = -1, b = -1
若 $\frac{(y^2 + 2xy + ax^2)dx - (x^2 + 2xy + by^2)dy}{(x^2 + y^2)^2}$ ($x^2 + y^2 \neq 0$)是某二元函数 $u = (x, y)$ 的全微分，则 $a, b$ 为 ().
A. $a = 1, b = 1$
B. $a = -1, b = 1$
C. $a = 1, b = -1$
D. $a = -1, b = -1$
题目解答
答案
C. $a = 1, b = -1$
解析
步骤 1：确定微分形式
给定的微分形式为 \[ \frac{(y^2 + 2xy + ax^2)dx - (x^2 + 2xy + by^2)dy}{(x^2 + y^2)^2}. \] 我们需要确定 $a$ 和 $b$ 的值，使得这个微分形式是某个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分。
步骤 2：计算偏导数并令其相等
为了使给定的微分形式是全微分，我们需要满足 \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \] 其中 \[ P = \frac{y^2 + 2xy + ax^2}{(x^2 + y^2)^2}, \quad Q = -\frac{x^2 + 2xy + by^2}{(x^2 + y^2)^2}. \] 计算偏导数 \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2y + 2x}{(x^2 + y^2)^2} - \frac{2(y^2 + 2xy + ax^2)(2y)}{(x^2 + y^2)^3}, \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2x + 2y}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2(x^2 + 2xy + by^2)(2x)}{(x^2 + y^2)^3}. \] 令 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，并简化得到 \[ -4 = 4b + 4a \quad \Rightarrow \quad b + a = -1. \]
步骤 3：确定 $a$ 和 $b$ 的值
由对称性，我们可以解得 \[ a = 1, \quad b = -1. \]
给定的微分形式为 \[ \frac{(y^2 + 2xy + ax^2)dx - (x^2 + 2xy + by^2)dy}{(x^2 + y^2)^2}. \] 我们需要确定 $a$ 和 $b$ 的值，使得这个微分形式是某个二元函数 $u(x, y)$ 的全微分。
步骤 2：计算偏导数并令其相等
为了使给定的微分形式是全微分，我们需要满足 \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \] 其中 \[ P = \frac{y^2 + 2xy + ax^2}{(x^2 + y^2)^2}, \quad Q = -\frac{x^2 + 2xy + by^2}{(x^2 + y^2)^2}. \] 计算偏导数 \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2y + 2x}{(x^2 + y^2)^2} - \frac{2(y^2 + 2xy + ax^2)(2y)}{(x^2 + y^2)^3}, \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2x + 2y}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{2(x^2 + 2xy + by^2)(2x)}{(x^2 + y^2)^3}. \] 令 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，并简化得到 \[ -4 = 4b + 4a \quad \Rightarrow \quad b + a = -1. \]
步骤 3：确定 $a$ 和 $b$ 的值
由对称性，我们可以解得 \[ a = 1, \quad b = -1. \]