题目
计算累次积分 int_(0)^2 dx int_(0)^sqrt(2x-x^2) dy 的结果为 A. (1)/(4) piB. (1)/(2) piC. (3)/(4) piD. pi
计算累次积分 $\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{\sqrt{2x-x^2}} dy$ 的结果为
- A. $\frac{1}{4} \pi$
- B. $\frac{1}{2} \pi$
- C. $\frac{3}{4} \pi$
- D. $\pi$
题目解答
答案
为了计算累次积分$\int_{0}^{2}dx\int_{0}^{\sqrt{2x-x^{2}}}dy$，我们首先需要理解积分区域。积分区域由$0 \leq x \leq 2$和$0 \leq y \leq \sqrt{2x - x^2}$定义。方程$y = \sqrt{2x - x^2}$描述了圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$的上半部分，该圆的中心在$(1,0)$，半径为1。
因此，积分区域是这个圆的上半部分。为了计算这个区域的面积，我们可以使用极坐标。在极坐标中，圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$可以表示为$r = 2\cos\theta$，其中$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。但是，由于我们只对上半部分感兴趣，我们考虑$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。
在极坐标中，面积元素是$r \, dr \, d\theta$。积分变为：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr
\]
首先，我们计算内积分：
\[
\int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\cos^2\theta}{2} = 2\cos^2\theta
\]
接下来，我们计算外积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta
\]
使用恒等式$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，我们得到：
\[
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta
\]
这个积分可以分为两部分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) + \left( \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} \right) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}
\]
因此，累次积分的结果是$\frac{\pi}{2}$。正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
步骤 1：理解积分区域
积分区域由$0 \leq x \leq 2$和$0 \leq y \leq \sqrt{2x - x^2}$定义。方程$y = \sqrt{2x - x^2}$描述了圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$的上半部分，该圆的中心在$(1,0)$，半径为1。因此，积分区域是这个圆的上半部分。
步骤 2：转换到极坐标
为了计算这个区域的面积，我们可以使用极坐标。在极坐标中，圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$可以表示为$r = 2\cos\theta$，其中$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。但是，由于我们只对上半部分感兴趣，我们考虑$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。在极坐标中，面积元素是$r \, dr \, d\theta$。积分变为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr \]
步骤 3：计算内积分
首先，我们计算内积分： \[ \int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\cos^2\theta}{2} = 2\cos^2\theta \]
步骤 4：计算外积分
接下来，我们计算外积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta \] 使用恒等式$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，我们得到： \[ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta \] 这个积分可以分为两部分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) + \left( \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} \right) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} \]
积分区域由$0 \leq x \leq 2$和$0 \leq y \leq \sqrt{2x - x^2}$定义。方程$y = \sqrt{2x - x^2}$描述了圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$的上半部分，该圆的中心在$(1,0)$，半径为1。因此，积分区域是这个圆的上半部分。
步骤 2：转换到极坐标
为了计算这个区域的面积，我们可以使用极坐标。在极坐标中，圆$(x-1)^2 + y^2 = 1$可以表示为$r = 2\cos\theta$，其中$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。但是，由于我们只对上半部分感兴趣，我们考虑$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。在极坐标中，面积元素是$r \, dr \, d\theta$。积分变为： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr \]
步骤 3：计算内积分
首先，我们计算内积分： \[ \int_{0}^{2\cos\theta} r \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{2\cos\theta} = \frac{(2\cos\theta)^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4\cos^2\theta}{2} = 2\cos^2\theta \]
步骤 4：计算外积分
接下来，我们计算外积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta \] 使用恒等式$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$，我们得到： \[ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) \, d\theta \] 这个积分可以分为两部分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2\theta \, d\theta = \left[ \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) + \left( \frac{\sin \pi}{2} - \frac{\sin 0}{2} \right) = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2} \]