38 设y=y(x)是由方程2y³-2y²+2xy-x²=1确定的，则y=y(x)的极值点是

考查要点：本题主要考查隐函数求导、极值点的判定方法，以及二阶导数的应用。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，得到$y'$的表达式。
2. 求驻点：令$y'=0$，解出可能的极值点坐标。
3. 二阶导数检验：通过计算二阶导数$y''$的符号，判断驻点是否为极值点。

破题关键点：

• 隐函数求导的准确性：正确处理复合函数求导，注意乘积法则和链式法则。
• 代数化简：将导数表达式化简为分子分母形式，便于后续求解。
• 三次方程的因式分解：通过试根法找到实根，结合二次方程判别式确定唯一实根。
• 二阶导数的计算：利用商的导数法则，代入驻点坐标简化计算。

1. 对原方程求导

原方程：
$2y^3 - 2y^2 + 2xy - x^2 = 1$
对$x$求导，得：
$6y^2 y' - 4y y' + 2y + 2x y' - 2x = 0$
整理含$y'$的项：
$y'(6y^2 - 4y + 2x) = 2x - 2y$
解得：
$y' = \frac{x - y}{3y^2 - 2y + x}$

2. 求驻点

令$y' = 0$，则分子$x - y = 0$，即$y = x$。
将$y = x$代入原方程：
$2x^3 - 2x^2 + 2x^2 - x^2 = 1 \implies 2x^3 - x^2 - 1 = 0$
因式分解：
$(x - 1)(2x^2 + x + 1) = 0$
解得唯一实根$x = 1$，对应$y = 1$。

3. 二阶导数检验

计算二阶导数$y''$：
$y'' = \frac{(1 - y')(3y^2 - 2y + x) - (x - y)(6y y' - 2y' + 1)}{(3y^2 - 2y + x)^2}$
在$x = 1$处，$y = 1$，$y' = 0$，代入得：
$y'' = \frac{1 \cdot (3 - 2 + 1) - 0}{(3 - 2 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} > 0$
因此，$x = 1$是极小值点。